Drukuj książkęDrukuj książkę

VI. Wychodzenie poza dziedzictwo

.

Serwis: Uniwersytet Jagielloński bez Granic
Kurs: Matematyka a dzieje myśli
Książka: VI. Wychodzenie poza dziedzictwo
Wydrukowane przez użytkownika: Gość
Data: wtorek, 21 maj 2019, 22:33

Ruch umysłowy, który – sprzymierzony z franciszkańską radością – rehabilitował materialny kształt rzeczy, zbiegł się z wielkimi zmianami w warunkach życia. W okresie 1000-1350 ludność Europy wzrosła czterokrotnie, podwoiła się produkcja na jednego mieszkańca, a wymiana wzrosła aż dziesięciokrotnie. Powstał system bankowy z formą płatności na piśmie, wekslem i kredytem. Rozwinęło się państwo, a w nim struktury sprawiedliwości i administracji z poborcami podatkowymi, adwokatami, prokuratorami, sędziami, komornikami. Od XIII wieku upowszechniał się system szkół elementarnych. W tymże XIII wieku pojawił się papier, ale przyjmował się z trudem (był nietrwały, a środowisko uniwersyteckie broniło pergaminu i pamięciowych metod nauczania). Zaczął też działać czynnik komunikacji: wiek XII – wóz z kołami na obręczach, podkuwanie koni, przełom XII i XIII wieku – duże statki umożliwiające dalekie podróże, wiek XIII – statek wielomasztowy o sterze rufowym, busola, wiek XIV – nawigacja magnetyczna. Nabierał znaczenia czynnik technologiczny, pobudzany przez klasztory, które musiały być samowystarczalne, a zakonnicy powinni mieć czas nie tylko na pracę, ale także na modlitwę i studia. Rodziło to zapotrzebowanie na energię i zakony, a zwłaszcza liczni wówczas cystersi (ponad 500 klasztorów około roku 1300), zaczęły intensywnie korzystać z energii wodnej. Sprzyjały temu warunki klimatyczne (rzeki pełne wody przez cały rok) i społeczne (brak siły roboczej), a nadto zainteresowane tym były szlachta ziemska (własne młyny) i mieszczaństwo (źródło zarobku). Rósł zakres stosowania energii wodnej i komplikowały oparte na niej urządzenia: kucie i szlifowanie blach, tokarstwo, drążenie rur, wentylacja kopalń, pompy wodne, tłoczenie oliwy z oliwek i moszczu z winogron, kruszenie kamieni, pranie wełny, nadmuch pieców hutniczych itd. Rosły zagadnienia, ale rósł także margines czasu wolnego.
Interesujesz się średniowieczem? Chciałbyś poczytać artykuły, obejrzeć filmy dokumentalne lub przeczytać wywiady z ekspertami od średniowiecza? Czytaj więcej... (j. angielski).

A może chcesz zapoznać się z historią średniowiecza, korzystając z interaktywnej mapy i czytając powiązane z nią artykuły? Zobacz! (j. angielski).


Zainteresowanie matematyką ujawniało się w dwóch środowiskach, uniwersyteckim i praktycznym. Ci z tego pierwszego byli z reguły duchownymi i ich zainteresowania matematyczne wyrastały ze studiów nad spuścizną grecką, ci drudzy byli kupcami, budowniczymi, malarzami, kartografami itp., a zainteresowania mieli zdecydowanie praktyczne. Na szczęście nie były to środowiska izolowane, zdarzało się bowiem, zwłaszcza w późnym średniowieczu, że katedry matematyki na uniwersytetach obejmowali „praktycy”, zaś ludzie ze środowiska uniwersyteckiego podejmowali się odpowiadania na problemy praktyczne. Podobnie jak Arabowie, matematycy europejskiego średniowiecza niewiele oryginalnego do matematyki wnieśli, ich jednak wielką zasługą było pełne przyswojenie dorobku Greków i Arabów, obudzenie szerszego zainteresowania matematyką i zaszczepienie kultury matematycznej na gruncie, gdzie jej przedtem nie było.

Pierwszym wybitnym matematykiem europejskiego średniowiecza był Leonardo z Pizy (ok. 1180-1250), bardziej znany jako Fibonacci. Z kupieckiej rodziny, często towarzyszył ojcu w wyprawach handlowych do Algierii, Egiptu, Syrii, Grecji i Sycylii. Obudzone w czasie tych podróży zainteresowania rachunkami rozwijał pod opieką arabskiego nauczyciela i w 1202 r. wydał swoją pierwszą książkę Liber abaci [Księga abaku]. Tytuł świadczy o tym, jak głęboko w świadomości ówczesnych ludzi rachowanie wiązało się z abakiem, książka jest jednak podręcznikiem rachowania na liczbach zapisanych cyframi „arabskimi”. Nie dostrzegł on jeszcze ułamków dziesiętnych, zamiast których używał ułamków zwykłych, sześćdziesiątkowych i egipskich, co świadczy o sile przywiązania i tradycji.

W książce Liber abaci znajduje się słynne zadanie: ile otrzymamy par królików pod koniec roku, jeśli zaczynamy od jednej pary i każda para rodzi co miesiąc nową parę, zdolną do rozmnażania się poczynając od drugiego miesiąca swojego istnienia? Zadanie to prowadzi do tzw. ciągu Fibonacciego, tj. ciągu zaczynającego się od dwóch jedynek, którego każdy następny wyraz jest sumą dwóch wyrazów bezpośrednio go poprzedzających:

u_{n} = u_{n-1} + u_{n-2} , n > 2: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

Prócz Liber abaci Leonardo napisał jeszcze parę innych książek, które również miały pewien wpływ.

Pod wpływem lektury dzieł Arystotelesa i arabskich komentarzy pojawiło się, na uniwersytetach w Paryżu i Oksfordzie, zainteresowanie fizyką. Jednym z pionierów tego ruchu był Robert Grosseteste (ok. 1175-1253), pierwszy kanclerz uniwersytetu w Oksfordzie, a pod koniec życia biskup Lincoln. Sławniejszy i bardziej wpływowy był jego uczeń Roger Bacon (ok. 1214-1294), który wysunął i bronił obrazoburczego wówczas poglądu, że poznanie świata powinno się opierać na obserwacji o doświadczeniu, a nie na lekturze starych tekstów. Był to jeden z pierwszych głosów wysuwających postulat empiryzmu. Czwarta część jego Opus maius, prawdziwej encyklopedii nauki w XIII wieku, nosiła tytuł „O pożytkach matematyki”. Bacon nazwał tam matematykę wrotami i kluczem do innych nauk, co świadczy o tym, jak wysoko matematykę cenił i jak chciał, żeby była ceniona także przez innych.

Wraz z rozwojem uniwersytetów rosło zainteresowanie wiedzą ścisłą i matematyką. Thomas Bradwardine (ok. 1290 -1349) tak dobrze poznał dzieła Greków, Boecjusza i swoich mistrzów, że zyskał przydomek doctor profundus [doktor głęboki], co było wyrazem uznania, ale już nie lęku, stanowiąc wymowny kontrast z X wiekiem (por. przypadek Gerberta). W jednym ze swoich dzieł, Geometria speculativa, wprowadzał już wątki nowe, np. wielokąty gwiaździste, których u Greków nie było. Myśl matematyczna stawała się coraz śmielsza, np. Nicole Oresme (ok. 1323-1382) rozważał potęgi wymierne i ich zastosowania do arytmetyki, muzyki i geometrii, a w innym swoim dziele rozwijał kierunek tzw. intensywności form, dając interesujące studium ruchu i zmiany. Kierunek ten dostrzegł i zaczął analizować pomijane wcześniej w badaniach zjawisko, że pewne cechy ciała mogą się zmieniać, nie zmieniając jego istoty, np. ciepłota, prędkość itp. Po latach analiz, dysput i krytyk doprowadziło to do wypracowania koncepcji prędkości chwilowej i przyspieszenia, które legły u podstaw fizyki Galileusza (sekcja VII.3) oraz rachunku fluent i fluksji Newtona (sekcja VIII.4).

Wybitnym matematykiem i astronomem był Regiomontanus (1436-1476), autor traktatu De triangulis omnimodis libri quinque [O trójkątach wszelakich ksiąg pięcioro], w którym trygonometria została po raz pierwszy potraktowana jako osobna dziedzina matematyki. Franciszkański mnich Luca Paccioli (1445-1514) był wędrownym nauczycielem matematyki. Opublikował Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita (1494) [Suma arytmetyki, geometrii, proporcji i proporcjonalności], będącą imponującą kompilacją wiedzy pochodzącej od starożytnych i współczesnych, pierwszą w tym rodzaju po Liber abaci Leonarda z Pizy. Mało oryginalna, ale napisana dobrze i w dialekcie toskańskim – wywarła duży wpływ na upowszechnienie koncepcji matematycznych.

Rosła znajomość i znaczenie matematyki, ale była to jeszcze ciągle matematyka grecka z ducha i zakresu, choć już z przebłyskami idei nowych i oryginalnych.
Chcesz dowiedzieć się więcej o wkładzie Fibonacciego w rozwój matematyki? Czytaj więcej... (j. angielski).


W rachowaniu początkowo nadal górował abak, gdzie rachunki były niemal mechaniczne, zero niepotrzebne, a ułamki stosowano zwykłe, sześćdziesiątkowe lub egipskie. Stopniowo przybywało jednak zwolenników cyfr „arabskich” wraz z zerem i nowymi algorytmami działań rachunkowych. Tych pierwszych można nazwać abacystami, a tych drugich algorystami i przez parę stuleci funkcjonowali obok siebie, jednakże od XIII wieku algorystów zaczęło przybywać, w czym zasługa takich ludzi jak wspomniany wcześniej franciszkanin francuski Alexandre de Villedieu, autor poematu Carmen de Algorismo [Pieśń o algorytmie], Anglik Sacrobosco (1200-1256), który napisał popularny traktat Algorismus vulgaris [Algorytm powszechny], oraz Leonardo z Pizy i jego Liber abaci.
Źródło: Wikipedia.

Nowy system zyskiwał zwolenników i w 1138 r. cyfry arabskie były już bite na monecie sycylijskiej, a pół wieku później przekroczyły Alpy. W 1275 r. znalazły się we francuskim rękopisie. Był jednak i opór, np. w 1299 r. Florencja zabroniła swoim kupcom używania nowych znaków.

Ciekawą ilustracją upowszechniania się cyfr „arabskich” są daty pierwszego ich pojawienia się na monetach jakiegoś kraju, musiały bowiem one być już w owym czasie szerzej w tym kraju znane [Bibliografia]:
Szwajcaria 1424
Austria 1484
Francja 1485
Niemcy 1489
Polska 1506 [Bibliografia]
Szkocja 1537
Anglia 1551
Rosja 1654 [Bibliografia]
Interesuje Cię, jak wyewoluowały cyfry arabskie? Czytaj więcej... (j. angielski).


Wraz z rozwojem handlu we Włoszech pojawiła się sztuka kupiecka (Arte Mercandantia) uprawiana przez maestri d’abacco [mistrzowie abaku], których zawód szybko się upowszechnił w średniowiecznej Europie. W Niemczech nazywali się oni Rechenmeistern, czyli rachmistrze. Na zlecenia miast, banków, kupców i innych osób prowadzili oni księgowość i wykonywali stosowne rachunki. Zawód był popłatny, nierzadko więc rachmistrz prowadził własną szkołę i pisywał książeczki (po niemiecku Rechenbüchlein), które należały, obok Biblii i kalendarzy, do najbardziej wówczas poczytnych. Rachunki obejmowały wymianę walut, obliczanie ciężaru czy pojemności w zależności od rozmiarów liniowych, naliczanie procentu prostego i składanego itp. Potrzeba i powszechność takich rachunków oczywiście przyczyniały się do upowszechniania kultury matematycznej.

Jednym z najbardziej znanych rachmistrzów był Adam Ries (1492-1559), autor trzech książeczek, których walory pedagogiczne i ścisły związek z życiem sprawiły, że drukowano je jeszcze w XVII wieku. Ich tytuły, w których powtarzają się słowa „Rechnung auf der Linien und Federn” [Rachunek na liniach i piórach] wskazują na dwie metody rachunkowe: „na liniach” przesuwa kamyki abacysta, z pomocą „piór” pracuje algorysta.
Źródło: Wikipedia.

Każda z tych metod miała swoje zalety. Abak miał za sobą wielowiekową tradycję i nie obejmowały go zakazy, jak ten florencki z 1299 r. Mogli na nim rachować nawet ci, którzy nie posiedli sztuki czytania i pisania, i nie był do tego potrzebny papier, rzadki wówczas i drogi. Nie wymagał stosowania cyfr „pogańskich” i rozumienia systemu pozycyjnego, a z tym były trudności, np. z posługiwaniem się znakiem zero oznaczającym „nic”, bo od położenia tego „nic” zależała wartość zapisywanej liczby (coś podobnego przeżywał w XIX wieku Cantor, gdy wprowadzał znak zbioru pustego). Z drugiej jednak strony rachunki algorysty były sprawdzalne, miał on do dyspozycji więcej algorytmów i były one silniejsze, a nadto tymi samymi cyframi się rachowało i wypełniało księgi. I poczynając od XVI wieku algoryści brali górę, ale ślady stosowania abaku przetrwały niemal do naszych czasów.

Źródło: Wikipedia.
Chcesz zobaczyć, jak liczyć na abaku? .

Interesuje Cię, jak wygląda nauka liczenia na abaku w Japonii? .


Rachmistrz holenderski Simon Stevin (1548-1620) opublikował w 1585 r. niewielką książeczkę De Thiende (po holendersku „dziesiąte”), której pełny tytuł wyjaśnia wszystko: „Thiende jest sztuką rachowania, dzięki której wszystkie konieczne dla ludzi rachunki dają się wykonać z pomocą liczb całkowitych bez ułamków: uzyskuje się je z ciągu dziesiątych, jak można zapisać każdą liczbę”. Krótko mówiąc, książeczka ta, ciesząca się potem wielką sławą, wprowadziła ułamki dziesiętne, chociaż oryginalna notacja Stevina była jeszcze uciążliwa i niewygodna. Ale jest to zjawisko w matematyce częste, ostateczny bowiem kształt nowych pojęć bywa z reguły wynikiem pracy wielu matematyków.

Ramka 1. Zapis Stevina.
Każdą liczbę Stevin przedstawiał w postaci liczby całkowitej, po której pisał (0), oraz kolejnych ułamków dziesiętnych o licznikach \leq 9, po czym liczniki te zapisywał pisząc po nich kolejno (1), (2), (3) itd. Przykłady: liczbę 0,375 zapisywał w postaci 3(1)7(2)5(3), a liczbę 8,937 – w postaci 8(0)9(1)3(2)7(3), co objaśniał tak „zaznaczone liczby mają wartość 8 9/10 2/100 7/1000, łącznie 8 937/1000”. Zapis jest więc niemal współczesny (dzisiaj zamiast (0) pisze się przecinek, a oznaczenia (1), (2) itd. po prostu się opuszcza) i takie są też algorytmy działań, co Stevin na dalszych stronicach swojej książeczki objaśniał. Przykład:



Rosnąca powszechność metod rachunkowych i biegłość w ich stosowaniu spowodowały pojawienie się tendencji do wprowadzania skrótów i specyficznych symboli na oznaczanie działań, niewiadomych i ich potęg. Był to oczywisty bodziec dla rozwoju algebry, a pierwsi na tej drodze byli kosyści. Nazwa pochodzi od włoskiego cosa lub niemieckiego Coss, co znaczyło „rzecz”, a rozumiano przez to niewiadomą i umiejętność jej obliczania. Niewiadomą i jej potęgi nazywano liczbami kosowymi.

Granica między rachmistrzami a kosystami nie była ostra. Niemal każdy rachmistrz wprowadzał swoje skróty i oznaczenia, kosystom szło jednak o coś więcej, o rozwój metod skupionych na operowaniu symbolami i dokładnym rozwiązywaniu zadań.

Jednym z kosystów był Christof Rudolf (ok. 1500 – ok. 1545), który opublikował w 1525 r. książeczkę „Szybki i przyjemny rachunek za pomocą kunsztownych reguł algebry, zwykle Coss nazywanej”, w której wprowadził nowe nazwy i symbole na niewiadomą i jej potęgi aż do cubus de cubo (szósta potęga). Michel Stifel (ok. 1486-1567) wprowadził do niej ulepszenia i w swojej Arithmetica integra [Arytmetyka całkowita] swobodnie już rachował na liczbach ujemnych, badał niewymierności typu a + \sqrt{b}, znał „trójkąt Pascala” (przed Pascalem), stosował znaki + (plus) i - (minus) itd. Robert Recorde (1510-1588), lekarz i dyrektor mennicy, wprowadził znak = na równość, bo „żadne dwie rzeczy nie mogą być bardziej równe, niż dwie linie równoległe”. Zaczynała się nowoczesna symbolika algebraiczna.
Mając drogę przetartą przez kosystów pojawili się we Włoszech matematycy, którzy zabrali się za rozwiązywanie równań wyższych stopni. Z zadaniami prowadzącymi do równań drugiego stopnia umieli sobie radzić już Babilończycy, a zarówno oni jak i matematycy arabscy próbowali swoich sił także z niektórymi równaniami trzeciego stopnia. Teraz chodziło o znalezienie ogólnej formuły pozwalającej rozwiązać każde równanie trzeciego stopnia. Inspiracją mogła być uwaga L. Paciolliego na końcu jego Sumy, że na rozwiązanie równań x^{3} + ax = b i x^{3} + b = ax (we współczesnym zapisie) „sztuka algebry nie znalazła jeszcze sposobu” i że jest to w obecnym stanie wiedzy równie niemożliwe jak kwadratura okręgu.

Równanie x^{3} + ax = b rozwiązał Scipione del Ferro (1456-1526), ale rozwiązania nie ujawnił, z obawy przed rywalami panował bowiem wówczas szkodliwy zwyczaj utrzymywania takich rozwiązań w tajemnicy. Ferro pokazał je jednak swemu uczniowi Floridasowi.

Kolejnym bohaterem zaczynającego się dramatu był samouk Niccolo Fontana, zwany Tartaglia, czyli „jąkała” (1500-1557), który znalazł rozwiązanie równania x^{3} + px^{2} = q. W 1535 r. doszło między Floridasem a Tartaglią do publicznej rozprawy. Każdy z nich przedstawił 30 zadań, a zwycięzcą miał zostać ten, kto w ciągu 50 dni rozwiąże większą ich ilość. Tartaglia rozwiązał wszystkie w ciągu 2 godzin, Floridas w ciągu 50 dni – żadnego.

Sukces ośmielił Tartaglię i w 1541 r. uzyskał on ogólne rozwiązanie równania trzeciego stopnia. Nie ujawnił go, zamierzał bowiem przedstawić je w większym dziele, do którego miał się zabrać po uporaniu się z tłumaczeniami z greki Euklidesa i Archimedesa. Wieść się jednak rozeszła i Tartaglia stał się obiektem nagabywań. Po wielu naleganiach i po złożeniu przez Geronimo Cardano (1501-1576) uroczystej obietnicy utrzymania rozwiązania w tajemnicy, Tartaglia mu je pokazał. Cardano jednak obietnicy nie dotrzymał i w swoim wielkim dziele Ars Magna sive de regulis algebraicis [Sztuka Wielka czyli o regułach algebraicznych] (1545) ogłosił to rozwiązanie. Przypisał wprawdzie jego autorstwo Tartaglii, ten jednak wpadł w rozpacz. Nastąpiły publiczne oskarżenia i wezwania na rozprawy, nie dały one jednak satysfakcji rozgoryczonemu autorowi.
Źródło: Wikipedia.

Po równaniach trzeciego stopnia naturalną rzeczy koleją przyszła kolej na równania czwartego stopnia. Bez większego powodzenia próbował je rozwiązywać Cardano, ale powiodło się to jego uczniowi Lodovico Ferrari (1522-1565). Cardano opublikował i to rozwiązanie w swojej Ars Magna.

Jako człowiek Cardano stanowił przedziwną mieszaninę geniuszu, szaleństwa, pychy i mistycyzmu [Bibliografia]. Znał się na matematyce i medycynie (był profesorem obu tych dziedzin na uniwersytetach w Mediolanie, Padwie i Bolonii), ale namiętnie uprawiał także hazard i w 1570 r. znalazł się w więzieniu za długi. Ars Magna, dzieło jego życia, odegrała dużą rolę w rozwoju algebry i to nie tylko z powodu podania rozwiązań równań trzeciego i czwartego stopnia, ale także i dlatego, że autor dopuszczał pierwiastki ujemne (liczby ujemne ciągle jeszcze budziły opory), uzyskał postęp w obliczaniu przybliżonych wartości pierwiastków i nie cofał się przed używaniem wyrażeń zawierających pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, np. rozwiązał zadanie „podzielić 10 na dwie części, których iloczyn jest równy 40” uzyskując (w naszej notacji) rozkład:

40 = (5 + \sqrt{-15}) (5-\sqrt{-15}).

Wielkość \sqrt{-15} nazwał „sofistycznie ujemną” i zalecał unikanie takich wielkości. Był to jednak pierwszy przypadek, gdy pojawiły się liczby zespolone, ale na ich uznanie trzeba było jeszcze długo czekać (sekcja XIII.2). Cardano napisał także traktat De ludo aleae [O grze w kości] (1563), w którym rozważał problemy wynikające przy grze w kości. Był to pierwszy w historii matematyki traktat o prawdopodobieństwie, ale w jego rozwoju nie odegrał on większej roli.

Pewien postęp w operowaniu liczbami zespolonymi przyniósł traktat Algebra (1572), gdzie po raz pierwszy w europejskiej literaturze pojawił się termin „algebra” w tytule, a którego autorem był inżynier Raphael Bombelli (1526-1573). Nadal jednak traktowano te liczby podejrzliwie, choć budziły coraz większe zaciekawienie. Jan Bernoulli (1667-1748) badał logarytmy naturalne liczb zespolonych, Roger Cotes (1682-1716) doszedł do równości ln (\cos \phi + i \sin \phi) = i\phi, z której wynika e^{i\phi} = cos \phi + i sin \phi, co dla \phi=\pi daje e^{i\pi} =-1, czyli wzór Eulera (sekcja IX.4). De Moivre znalazł formułę (\cos \phi + i \sin \phi)^{n} = \cos n\phi + i \sin n\phi, a Euler formuły \sin \phi = (e^{i\phi} - e^{-i\phi}) / 2i , \cos \phi = (e^{i\phi} + e^{-i\phi}) / 2. Sporą rolę w XVIII wieku odgrywało tzw. fundamentalne twierdzenie algebry stwierdzające, że każdy wielomian zespolony w(z) ma co najmniej jeden pierwiastek z_{0}. Znaczenie tego twierdzenia polegało na tym, że dla takiego pierwiastka zachodziła redukcja w(z) = (z-z_{0}) w_{1}(z), gdzie w_{1}(z) było już wielomianem o jeden stopień niższym i to postępowanie, na mocy tego twierdzenia, można było kontynuować otrzymując w wyniku rozkład wyjściowego wielomianu na iloczyn czynników liniowych. Pierwszy dowód tego twierdzenia dał d’Alembert w 1746 r., ale miał on luki, drugi dał Gauss w 1799 r., ale i ten miał luki, obaj bowiem nie rozumieli dobrze pojęcia ciągłości. Poprawny dowód dał dopiero Weierstrass w 1874 r. w oparciu o teorię liczb rzeczywistych Dedekinda [Bibliografia]. Liczby zespolone zostały w pełni zaakceptowane dopiero po znalezieniu ich interpretacji jako punktów płaszczyzny, dzisiaj zwanej płaszczyzną Gaussa, którą dostrzegli Norweg Wessel, Szwajcar Armand i Gauss, ale dopiero autorytet tego ostatniego sprawił, że została ona przyjęta i uznana.

W XIX wieku znaczenie liczb zespolonych ogromnie wzrosło, pojawiła się bowiem teoria funkcji zespolonych (Gauss, Cauchy i ich następcy), znalazły one zastosowanie w teorii magnetyzmu i elektryczności (Maxwell), Riemann zdefiniował swoje powierzchnie, odkryto ich związek z geometriami nieeuklidesowymi itd. Dziś liczby zespolone odgrywają w matematyce wielką rolę, może nawet większą niż liczby rzeczywiste.
Chcesz poznać szczegóły historii, jak Cardano dowiedział się od Tartaglii, jak rozwiązywać równania trzeciego stopnia? Czytaj więcej... (j. angielski).


Do czasów Renesansu rysunki i malowidła pełniły przede wszystkim funkcje dydaktyczne. Najczęściej ilustrowały wydarzenia biblijne lub żywoty świętych, a do tego celu wierność perspektywiczna czy zachowanie proporcji nie tylko nie były potrzebne, ale były świadomie naruszane, bo prorok, władca czy święty powinien się wyróżniać na tle innych. Tak było w malarstwie egipskim, potem średniowiecznym i tak jest do dzisiaj w malarstwie ikonicznym.
W okresie Renesansu pojawił się jednak problem perspektywicznej poprawności: w jaki sposób na płaszczyźnie obrazu przedstawić sytuację przestrzenną tak jak widzi ją oko? Jak uzyskać wrażenie głębi?

Problem pojawił się w środowisku budowniczych, a jednym z pierwszych, który go podjął, był Filippo Brunelleschi (1377-1446), zatrudniony przez władze Florencji do zbudowania kopuły mającej nakryć wznoszoną właśnie w tym mieście katedrę. Jak inni budowniczowie owych czasów, Brunelleschi był praktykiem bez teoretycznego wykształcenia, w owych czasach nie było bowiem uczelni kształcących budowniczych. Budowniczowie byli praktykami i ich budowle czasem się waliły, ale nie odczuwali potrzeby teoretycznego wsparcia i np. budowniczowie katedry w Mediolanie odmówili posługiwania się matematyką, bo uzyskane z jej pomocą wyniki nie zgadzały się z tym, co o budowaniu pisał Arystoteles, którego mieli za największy autorytet.

Brunelleschi miał jednak otwartą głowę i znał trochę optyki geometrycznej. Korzystając ze zwierciadła (jednego z tych, jakie Wenecja zaczęła właśnie wyrabiać) i pewnych idei z pism Witelona, narysował zadziwiająco dokładny obraz florenckiego baptysterium. Podobny efekt uzyskał przyjaźniący się z Brunelleschim malarz Tommaso Masaccio (1401-1429), ale dopiero Leone Battista Alberti (1404-1472) nadał metodzie Brunelleschiego charakter w pełni geometryczny, wykładając zasady perspektywy dostatecznie prosto, by każdy malarz i budowniczy mógł się nimi posługiwać.
Jeśli między rysowaną sceną a okiem umieścić płytę szklaną, to każdy promień biegnący od sceny do oka przecina ją w jakimś punkcie. Zbiór takich punktów nazywa Alberti przekrojem sceny i zauważa, że przekrój ten jest widziany przez oko dokładnie tak jak sama scena, ponieważ ten sam promień łączy oko z punktem płyty i odpowiednim punktem sceny. Problem sprowadza się więc do pytania: jak otrzymywać poprawne przekroje? I Alberti sformułował geometryczne zasady perspektywy, których realizację widzimy już na obrazach Leonardo da Vinci, Uccella, Botticelliego, Masaccia i wielu innych [Bibliografia].
Co więcej, Alberti podniósł także następujący problem: stojąc w innym miejscu i inaczej ustawiając płytę, otrzymujemy inne przekroje tej samej sceny, ale oko rozpoznaje je jako obraz tego samego. Zatem wszystkie te przekroje muszą mieć jakieś wspólne własności. Jakie? Ten właśnie problem, po podjęciu go przez matematyków, stał się początkiem nowej gałęzi geometrii, zwanej geometrią rzutową (p. niżej, sekcja X.3).
Interesują Cię zasady rządzące perspektywą? Czytaj więcej... (j. angielski).

Chcesz poznać matematykę stojącą za perspektywą? Czytaj więcej... (j. angielski).


Historia logarytmów zaczęła się od porównywania postępu arytmetycznego i geometrycznego, np. Luca Paccioli (1445-1514) porównywał postępy:



Zauważył, że iloczyn dwóch wyrazów dolnego postępu odpowiada sumie stojących nad nimi wyrazów górnego postępu. Dalej poszedł Michael Stifel (ok.1486-1567), który zauważył nadto, że odejmowanie w pierwszym postępie odpowiada dzieleniu w drugim, mnożenie w pierwszym – potęgowaniu w drugim, połowienie w pierwszym – wyciąganiu pierwiastka kwadratowego w drugim itd. Był on zapewne świadom kryjących się tu możliwości, w swojej Arithmetica integra napisał bowiem „Można napisać całkiem nową książkę o tych cudownych własnościach, muszę wszakże teraz na tym poprzestać i odwróciwszy oczy zająć się czym innym”.

Od pomysłu do realizacji droga bywa jednak daleka i choć zajmowało się tym jeszcze paru, to za właściwego odkrywcę logarytmów uznaje się dziś szkockiego barona Johna Napiera (1550-1617), zwanego też Neperem, który związek między postępem arytmetycznym a geometrycznym połączył z ideą ruchu punktu.

Niech będzie dany odcinek AB długości a i półprosta o początku D (rys. 9). Wyobraźmy sobie, że z punktu A po odcinku i z punktu D po półprostej ruszają jednocześnie dwa punkty, oba z tą samą prędkością początkową a. Punkt biegnący po półprostej ma prędkość stałą, natomiast prędkość punktu na odcinku maleje w taki sposób, że kiedy dochodzi on do punktu C, to jego prędkość jest proporcjonalna do odległości CB, jaka mu zostaje do przebiegnięcia. Kiedy pierwszy punkt przebiega odległość AC, drugi przebiega odległość DF i Neper nazywa odcinek DF logarytmem odcinka BC.

Rozpatrzmy to dokładniej we współczesnej notacji. Przyjmując AB = a = 10^{7}, x = DF, y = BC mamy AC = a - y, a zatem prędkość w punkcie C wyraża się wzorem:

d ( a-y ) / dt = y,

co daje: 

- \ln y = t + c.

Jeśli t = 0, to y = a i c = - \ln a,

skąd:

t = \ln a - \ln y = \ln a/y.

Z drugiej strony, prędkość w punkcie F wynosi dx/dt = a, skąd x = at. Podstawiając a = 10^{7} i t = \ln a/y i pamiętając, że z definicji x = \text{Nap. log}(y), dostajemy ostatecznie:

\text{Nap. log}(y) = 10^{7} ln 10^{7}/y.


Wynalazek Nepera, ogłoszony w dziełach Mirifici logarithmorum canonis descriptio [Opis zdumiewającej zasady logarytmów] (1614) i Mirifici logarithmorum canonis constructio [Konstrukcja zdumiewającej zasady logarytmów] (1619, pośmiertnie), został rozwinięty przez Henry Briggsa (1561-1631), który wprowadził powszechnie potem używane logarytmy dziesiętne i obliczył dla nich dość dokładne tablice, a także Jobsta Bürga (1552-1632) i paru innych – zyskał dużą popularność, znacznie bowiem ułatwiał żmudne dotychczas rachunki. Szczególnie wdzięcznie przyjęli go astronomowie, a pierwszy był Kepler, gorący jego entuzjasta i propagator.

Ramka 2. Logarytmy dziesiętne.
Dla każdej liczby rzeczywistej x > 0 istnieje liczba rzeczywista y taka, że x = 10^{y}, np. 2 = 10^{0,3010}. Tę liczbę y nazywa się logarytmem dziesiętnym liczby x i oznacza y = log_{10} x, czyli log_{10} 2 = 0,3010.

Zamiast liczby 10 można wziąć oczywiście każdą liczbę a > 0, wybór 10 w tej roli jest jednak dogodny ze względu na to, że 10 jest także podstawą naszego systemu zapisywania liczb, np. jeśli x = 10^{y}, to 10x = 10.10^{y} = 10^{y+1} i, ogólniej, 10^{k}.10^{y} = 10^{y+k}. Ta uwaga pozwala ograniczyć tablice logarytmiczne do liczb x spełniających warunek 0 < x < 1, dla takich bowiem liczb ich logarytm mieści się w granicach 0 < y = log_{10}x < 1, zaś dla liczb x z przedziału (0,1) pomnożonych przez 10^{k} (k może być liczbą całkowitą, dodatnią lub ujemną) mamy log_{10} 10^{k}.x = k + y. Zatem logarytm dziesiętny liczby 10^{k}x składa się z części całkowitej k (dodatniej lub ujemnej), którą nazywamy cechą i logarytmu liczby x, którą nazywamy mantysą logarytmu dziesiętnego liczby 10^{k}x. Tablice logarytmów dziesiętnych zawierają mantysy.


Rachowanie z pomocą logarytmów dziesiętnych jest łatwe i szybko można nabrać w tym wprawy. Rachowało się z pomocą dokładnych (np. 7-cyfrowych) tablic logarytmów dziesiętnych liczb x z przedziału (0,1) i podobnie dokładnych tablic funkcji trygonometrycznych, drukowanych jeszcze w drugiej połowie XX wieku, a także budowano pomysłowe suwaki logarytmiczne do szybkiego wykonywania przybliżonych rachunków. Przez ponad trzy wieki logarytmy stanowiły podstawowe narzędzie rachunkowe astronomów, inżynierów i innych użytkowników, ale pod koniec XX wieku zostały szybko i skutecznie wyparte przez komputery. Dziś są już tylko ciekawostką historyczną.

Logarytmy natomiast ostały się w analizie matematycznej, ale przy innej podstawie. Tam mianowicie podstawowe znaczenie zyskała podstawa inna, oznaczana literą e, którą definiuje szereg: 

e^{x} = 1 + x/1! + x^{2}/2! + x^{3}/3! + ... = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!

Z własności tego szeregu wynika, że po zróżniczkowaniu dostajemy tę samą funkcję, tzn. (e^{x})’ = e^{x} i to jest ta podstawowa własność, dzięki której liczba e jest uprzywilejowana w analizie. W szczególności, logarytm o podstawie e liczby x nazywa się jej logarytmem naturalnym i oznacza symbolem ln x (wobec zaniku logarytmów dziesiętnych, ten symbol jest współcześnie wypierany przez log x).

Wstawiając do szeregu powyżej x = 1 dostajemy równość e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 ... , z której można wyliczyć e = 2,7182....
Rozważania teologów nad istotą Boga doprowadziły do uznania, że Bóg jest nieskończony. Wynikało z tego, że nieskończoność aktualna istnieje, a to przełamywało opory przed studiowaniem jej przez matematyków. Śladem takiego dopuszczenia jest przytoczone niżej rozumowanie kardynała Mikołaja z Kuzy (1401-1464).

Ramka 3. Pole koła według Mikołaja z Kuzy.
Niech będzie dane koło o promieniu r. Obwód tego koła składa się z nieskończenie wielu nieskończenie małych odcinków, z których każdy jest podstawą trójkąta o wysokości r (rys. 10). Trójkąty te wypełniają koło, a zatem pole naszego koła jest sumą pól wszystkich tych nieskończenie wielu trójkątów. Pole trójkąta jest równe iloczynowi połowy podstawy i wysokości. Ponieważ każdy z tych trójkątów ma wysokość r, a ich podstawy wypełniają obwód koła, więc pole naszego koła jest równe (1/2) \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot r = \pi r^{2}. [Bibliografia]

Rys.10. Rozumowanie Kuzańczyka


1. W XIII wieku kończyło się przyswajanie greckiego dorobku matematycznego przez łacińską Europę, ale samo przyswojenie nie wystarczyłoby do trwałego zaistnienia matematyki w europejskiej kulturze. Matematyka naprawdę żyje dopiero wtedy, gdy się rozwija, do czego bodźcem są nowe wyzwania i znajdowane na nie odpowiedzi w postaci nowych idei i metod. I takie rumieńce nowego życia pokazywały się w Europie już w wiekach XIV i XV, otwierając przed matematyką nowe i nieznane wcześnie drogi.

2. Kluczowe znaczenie miało upowszechnienie cyfr „arabskich”, co trwało wprawdzie parę wieków i nie obywało się bez oporów, ale dawało silne oparcie dla rozwoju nowych i skutecznych metod rachunkowych.

System dziesiętny i cyfry „arabskie” okazały się tak efektywne, że po ich upowszechnieniu wszystkie wcześniejsze systemy zapisywania liczb i związane z nimi algorytmy stały się historycznymi ciekawostkami.

3. Dużą rolę w upowszechnieniu systemu dziesiętnego odegrało środowisko rachmistrzów, świadczące usługi rachunkowe, kształcące adeptów i szerzące swoje umiejętności za pomocą książeczek dla każdego.

W środowisku rachmistrzów pojawili się kosyści, których ambicje sięgały dalej. Szukając niewiadomych liczb, zadanych tylko jakimiś warunkami algebraicznymi, zaczęli oni tworzyć nie istniejącą jeszcze wtedy symbolikę algebraiczną: znaki na niewiadomą i jej potęgi, znaki działań algebraicznych, zaznaczanie kolejności działań, znak równości.

4. Opierając się na dorobku kosystów pojawili się we Włoszech algebraicy, którzy podjęli trud znalezienia ogólnych rozwiązań równań algebraicznych, najpierw trzeciego, a potem i czwartego stopnia. Powiodło im się, ale bodaj ważniejsze od tych rozwiązań było opanowanie liczb ujemnych (wcześniej traktowanych podejrzliwie), rosnąca biegłość w operowaniu liczbami niewymiernymi oraz natknięcie się, nieufne i pełne długo utrzymującej się podejrzliwości, na liczby zespolone.

Rosły umiejętności, rozwijała się symbolika algebraiczna, poszerzał zakres używanych liczb.

5. Równolegle do rachmistrzów, kosystów i algebraików rozwijał się kierunek drugi, ograniczony w owym czasie do środowiska malarzy i budowniczych, ale w przyszłości mający odegrać dużą rolę w rozwoju matematyki, a mianowicie odkrywanie matematycznych zasad perspektywy. Bogatsze o znajomość tych zasad malarstwo europejskie stało się wierniejsze naturze, a architektura europejska zyskała na wyrazistości. Matematyka nawiąże do tych odkryć w XVII wieku, a w XIX silnie je rozwinie.

6. Ważnym odkryciem były logarytmy, ogromnie ułatwiające uciążliwe wcześniej rachunki. Pierwsi skorzystali na tym astronomowie, ale później przeniknęły one także do innych dziedzin życia, a zwłaszcza do techniki. Logarytmy, zarówno w postaci tablic jak i różnego rodzaju suwaków, były w powszechnym użyciu do XX wieku, kiedy zostały wyparte przez techniki komputerowe.

7. Prócz wyżej wymienionych obszarów matematyka okazała się użyteczna także w kartografii, która borykała się z problemem wiernego przedstawienia dużych fragmentów powierzchni Ziemi na płaskich arkuszach map, zwłaszcza na potrzeby nawigacji morskiej.

8. Równocześnie z zarysowaną wyżej użytkową stroną matematyki trwały spekulacje uniwersyteckich scholastyków nad problemem ruchu. Wyróżniono tam wtedy tzw. cechy wtórne, które same mogą ulegać zmianie, nie wpływając na cechy pierwotne rozważanego ciała. Takimi cechami wtórnymi były pęd (impet) i prędkość, a rozważania szły w kierunku ilościowego ich ujmowania. Tworzyły one glebę, na której pojawi się w XVII wieku calculus, czyli rachunek różniczkowy i całkowy.

9. Wyrazem rosnącej odwagi intelektualnej było także pojawienie się nieskończoności w postaci bliskiej nieskończoności aktualnej.