V. Przetrwanie dorobku starożytności

Przyswajanie dziedzictwa starożytności przypominało także stare spory i prowadziło do ich odnowienia. Przypomnimy tutaj jeden z nich.

Pod koniec starożytności neoplatończyk Porfiriusz (232-305) zadał głośne potem pytanie: „co się tyczy rodzajów i gatunków […] czy są czymś rzeczywistym, czy tylko zwykłymi pojęciami umysłu”? [Bibliografia] Pytanie to podjął i rozwinął Boecjusz (480-526). Używając terminu universale (po polsku utarł się termin powszechnik lub, w liczbie mnogiej, uniwersalia) pytał, czy powszechniki (uniwersalia) istnieją realnie poza umysłem czy są przedmiotem intelektu? Pytanie trwało i poczynając od XI wieku filozofowie średniowieczni przypominali stare odpowiedzi (Platon, Arystoteles, p. wyżej sekcja II.10) i formułowali nowe, co w krótkim czasie doprowadziło do gorącego sporu, znanego w historii filozofii jako spór o uniwersalia, który swoje apogeum osiągnął w późnym średniowieczu [Bibliografia], a w matematyce odżył w XX wieku. W czasie tego sporu pojawiła się odpowiedź nowa, mianowicie nominalizm, który odmawia uniwersaliom nie tylko istnienia, ale także przeczy, jako byśmy mieli ich pojęcia. Posługujemy się nazwami ogólnymi (po łacinie nomen znaczy nazwa, stąd nominalizm), bo są one przydatne, ale ich odpowiednikami są konkrety, a nie byty samodzielne (Platon) lub tkwiące w konkretach (Arystoteles). Rzeczy nazywanych tym samym słowem nie łączy nic poza tym, że są one nazywane tym samym słowem, np. sama myśl o koniu jako takim, nieokreślonym co do maści, płci, wieku, wzrostu i innych cech, jest w sobie sprzeczna (koń nie może być jednocześnie ogierem i klaczą, młody i stary, gniady i siwy itd.). Według nominalisty istnieją tylko byty indywidualne, nie ma natomiast, ani pojęć ogólnych, ani bytów ogólnych.

Na pytanie o naturę uniwersaliów mamy więc dwie zasadnicze, diametralnie różne odpowiedzi: realizm, który uznaje realne ich istnienie, bądź samoistne (Platon) bądź niesamoistne (Arystoteles), oraz nominalizm, który zaprzecza istnieniu uniwersaliów i uznaje realne istnienie tylko bytów konkretnych, jednostkowych.

Silnym orężem współczesnych realistów w polemice z nominalistami jest tzw. argument z niezbędności, który głosi, że jeśli uznajemy za realne pojęcia jakiejś teorii fizycznej, to konsekwentnie powinniśmy uznać za realne także pojęcia matematyczne, na których ta teoria się opiera [Przypis]. Doceniając wagę argumentu z niezbędności, współcześni nominaliści zwykle zaczynają swoje rozważania od polemiki z tym argumentem.

Głównym przedmiotem sporu między realistami a nominalistami jest natura obiektów matematycznych. Czym one są? Jeśli, jak chce realista, matematyka bada jakiś realnie istniejący, choć niedostępny zmysłom, świat tworów idealnych, to jak jej badania mają się do rzeczywistości fizycznej, której poznaniu matematyka tak skutecznie służy? A jeśli matematyka bada tylko słowa, to co ona właściwie bada i dlaczego jest skuteczna? W obu przypadkach są duże trudności z wytłumaczeniem, dlaczego matematyka jest skutecznym narzędziem opisywania rzeczywistości i taka jest istota sporu o uniwersalia w matematyce [Bibliografia].

Spór między realistami a ich przeciwnikami odnosi się w szczególności do aksjomatów w matematyce. Wedle realistów nie wolno przyjmować aksjomatów w sposób dowolny, są one bowiem wyrazem istniejącego niezależnie od nas świata idealnego. Wedle ich przeciwników aksjomaty nie są wyrazem poznania świata idealnego (bo takiego najczęściej nie uznają), lecz stanowią pewną odmianę definicji (tzw. definicje uwikłane) terminów, jakie w nich występują, a zatem mogą być przyjmowane w zasadzie dowolnie, z jedynym zastrzeżeniem niesprzeczności.

Dobrej ilustracji tej sytuacji dostarcza teoria liczb rzeczywistych, które uchodzą za obiekt dobrze określony i mający powszechnie akceptowaną aksjomatykę. Pochodząca od Cantora hipoteza continuum mówi, że każdy podzbiór nieskończony zbioru liczb rzeczywistych jest, bądź przeliczalny, bądź równoliczny z całym zbiorem liczb rzeczywistych. Jak udowodnił Gödel, dołączenie hipotezy continuum do aksjomatyki liczb rzeczywistych daje układ niesprzeczny, a jak udowodnił Cohen, dołączenie negacji hipotezy continuum, także daje układ niesprzeczny. Realista powie, że skoro liczby rzeczywiste istnieją, to hipoteza continuum jest albo prawdziwa albo fałszywa, a skoro nie możemy tego stwierdzić w oparciu o istniejący układ aksjomatów, to znaczy to tylko tyle, że jest on za słaby i trzeba ten układ stosownie uzupełnić. Przeciwnik realizmu powie, że w każdym układzie aksjomatów jest tylko tyle, ile weń włożyliśmy, a zatem możemy sobie swobodnie przyjmować różne teorie liczb rzeczywistych, z hipotezą continuum lub bez niej.