VI. Wychodzenie poza dziedzictwo

Historia logarytmów zaczęła się od porównywania postępu arytmetycznego i geometrycznego, np. Luca Paccioli (1445-1514) porównywał postępy:



Zauważył, że iloczyn dwóch wyrazów dolnego postępu odpowiada sumie stojących nad nimi wyrazów górnego postępu. Dalej poszedł Michael Stifel (ok.1486-1567), który zauważył nadto, że odejmowanie w pierwszym postępie odpowiada dzieleniu w drugim, mnożenie w pierwszym – potęgowaniu w drugim, połowienie w pierwszym – wyciąganiu pierwiastka kwadratowego w drugim itd. Był on zapewne świadom kryjących się tu możliwości, w swojej Arithmetica integra napisał bowiem „Można napisać całkiem nową książkę o tych cudownych własnościach, muszę wszakże teraz na tym poprzestać i odwróciwszy oczy zająć się czym innym”.

Od pomysłu do realizacji droga bywa jednak daleka i choć zajmowało się tym jeszcze paru, to za właściwego odkrywcę logarytmów uznaje się dziś szkockiego barona Johna Napiera (1550-1617), zwanego też Neperem, który związek między postępem arytmetycznym a geometrycznym połączył z ideą ruchu punktu.

Niech będzie dany odcinek AB długości a i półprosta o początku D (rys. 9). Wyobraźmy sobie, że z punktu A po odcinku i z punktu D po półprostej ruszają jednocześnie dwa punkty, oba z tą samą prędkością początkową a. Punkt biegnący po półprostej ma prędkość stałą, natomiast prędkość punktu na odcinku maleje w taki sposób, że kiedy dochodzi on do punktu C, to jego prędkość jest proporcjonalna do odległości CB, jaka mu zostaje do przebiegnięcia. Kiedy pierwszy punkt przebiega odległość AC, drugi przebiega odległość DF i Neper nazywa odcinek DF logarytmem odcinka BC.

Rozpatrzmy to dokładniej we współczesnej notacji. Przyjmując AB = a = 10^{7}, x = DF, y = BC mamy AC = a - y, a zatem prędkość w punkcie C wyraża się wzorem:

d ( a-y ) / dt = y,

co daje: 

- \ln y = t + c.

Jeśli t = 0, to y = a i c = - \ln a,

skąd:

t = \ln a - \ln y = \ln a/y.

Z drugiej strony, prędkość w punkcie F wynosi dx/dt = a, skąd x = at. Podstawiając a = 10^{7} i t = \ln a/y i pamiętając, że z definicji x = \text{Nap. log}(y), dostajemy ostatecznie:

\text{Nap. log}(y) = 10^{7} ln 10^{7}/y.


Wynalazek Nepera, ogłoszony w dziełach Mirifici logarithmorum canonis descriptio [Opis zdumiewającej zasady logarytmów] (1614) i Mirifici logarithmorum canonis constructio [Konstrukcja zdumiewającej zasady logarytmów] (1619, pośmiertnie), został rozwinięty przez Henry Briggsa (1561-1631), który wprowadził powszechnie potem używane logarytmy dziesiętne i obliczył dla nich dość dokładne tablice, a także Jobsta Bürga (1552-1632) i paru innych – zyskał dużą popularność, znacznie bowiem ułatwiał żmudne dotychczas rachunki. Szczególnie wdzięcznie przyjęli go astronomowie, a pierwszy był Kepler, gorący jego entuzjasta i propagator.

Ramka 2. Logarytmy dziesiętne.
Dla każdej liczby rzeczywistej x > 0 istnieje liczba rzeczywista y taka, że x = 10^{y}, np. 2 = 10^{0,3010}. Tę liczbę y nazywa się logarytmem dziesiętnym liczby x i oznacza y = log_{10} x, czyli log_{10} 2 = 0,3010.

Zamiast liczby 10 można wziąć oczywiście każdą liczbę a > 0, wybór 10 w tej roli jest jednak dogodny ze względu na to, że 10 jest także podstawą naszego systemu zapisywania liczb, np. jeśli x = 10^{y}, to 10x = 10.10^{y} = 10^{y+1} i, ogólniej, 10^{k}.10^{y} = 10^{y+k}. Ta uwaga pozwala ograniczyć tablice logarytmiczne do liczb x spełniających warunek 0 < x < 1, dla takich bowiem liczb ich logarytm mieści się w granicach 0 < y = log_{10}x < 1, zaś dla liczb x z przedziału (0,1) pomnożonych przez 10^{k} (k może być liczbą całkowitą, dodatnią lub ujemną) mamy log_{10} 10^{k}.x = k + y. Zatem logarytm dziesiętny liczby 10^{k}x składa się z części całkowitej k (dodatniej lub ujemnej), którą nazywamy cechą i logarytmu liczby x, którą nazywamy mantysą logarytmu dziesiętnego liczby 10^{k}x. Tablice logarytmów dziesiętnych zawierają mantysy.


Rachowanie z pomocą logarytmów dziesiętnych jest łatwe i szybko można nabrać w tym wprawy. Rachowało się z pomocą dokładnych (np. 7-cyfrowych) tablic logarytmów dziesiętnych liczb x z przedziału (0,1) i podobnie dokładnych tablic funkcji trygonometrycznych, drukowanych jeszcze w drugiej połowie XX wieku, a także budowano pomysłowe suwaki logarytmiczne do szybkiego wykonywania przybliżonych rachunków. Przez ponad trzy wieki logarytmy stanowiły podstawowe narzędzie rachunkowe astronomów, inżynierów i innych użytkowników, ale pod koniec XX wieku zostały szybko i skutecznie wyparte przez komputery. Dziś są już tylko ciekawostką historyczną.

Logarytmy natomiast ostały się w analizie matematycznej, ale przy innej podstawie. Tam mianowicie podstawowe znaczenie zyskała podstawa inna, oznaczana literą e, którą definiuje szereg: 

e^{x} = 1 + x/1! + x^{2}/2! + x^{3}/3! + ... = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!

Z własności tego szeregu wynika, że po zróżniczkowaniu dostajemy tę samą funkcję, tzn. (e^{x})’ = e^{x} i to jest ta podstawowa własność, dzięki której liczba e jest uprzywilejowana w analizie. W szczególności, logarytm o podstawie e liczby x nazywa się jej logarytmem naturalnym i oznacza symbolem ln x (wobec zaniku logarytmów dziesiętnych, ten symbol jest współcześnie wypierany przez log x).

Wstawiając do szeregu powyżej x = 1 dostajemy równość e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 ... , z której można wyliczyć e = 2,7182....