XII. Kariera przypadku

Nierzadko w matematyce bywa, że nowe idee rodzą się daleko na obrzeżach i pozostają długo nierozpoznane. Dużo czasu mija, nim ich wartość zostanie doceniona i uznana. Wymownym przykładem tego zjawiska jest przypadek, traf, los.

Życie jest pełne przypadków, ale na to, by przypadek można było rozważać matematycznie, potrzebny był jakiś jego wyraz liczbowy. Najstarszym znanym przykładem liczbowego ujmowania przypadku jest gra w kości, znana już w starożytności, a najstarszym „teoretykiem” był niewątpliwie ten, który pierwszy swoją kość sfałszował. Przy rzucie normalną kością szansa na pojawienie się którejkolwiek jej ścian jest taka sama, ale ten kto chce częściej uzyskiwać np. szóstkę, musi swoją kość odpowiednio „poprawić”.

Zainteresowanie matematyków grami losowymi zaczęło się w XVI wieku, o czym świadczą teksty pochodzące od Galileusza [Bibliografia] i Cardano [Bibliografia]. Ten drugi obliczał m.in. prawdopodobieństwa niektórych układów przy rzucie dwoma kostkami. Później Paciolli w swojej Summa... (sekcja VI.2) sformułował problem podziału zysku między graczy przy niedokończonej grze i dał odpowiedź, którą skrytykował Tartaglia w swoim Generale Trattato. Poważniejsze zainteresowanie prawdopodobieństwem zaczęło się jednak dopiero od pytań kawalera de Méré, które on postawił Pascalowi i Robervalowi. Pytał ile należy wykonać rzutów dwoma kostkami, by szansa pojawienia się w jednym rzucie dwóch szóstek była większa niż ½ oraz jak należy podzielić nagrodę w grze do ustalonej liczby zwycięstw, jeśli zostanie ona przerwana przed osiągnięciem tej liczby przez któregokolwiek z graczy. Pytanie pierwsze ma stosunkowo łatwą odpowiedź (Ramka 1), natomiast odpowiedź na pytanie drugie nastręczała trudności. Na jego temat nastąpiła w 1654 r. (częściowo opublikowana w 1679 r.) słynna wymiana listów między Pascalem a Fermatem, w ślad za którą poszła rozprawa Pascala, uważana przez historyków za początek kombinatoryki [Bibliografia]. W tej rozprawie pojawił się „trójkąt Pascala” (Ramka 2), służący autorowi do obliczania różnych wartości wynikłych przy rozpatrywaniu zagadnień losowych. Taki był początek rachunku prawdopodobieństwa w matematyce, ale niemal trzy wieki dalszych wysiłków musiały minąć, nim został on doceniony i zyskał powszechne uznanie.

Ramka 1. Pierwsze pytanie kawalera de Méré.
Pytanie: ile razy należy rzucić dwoma kostkami, by szansa uzyskania pary szóstek była > 1/2 ?

Odpowiedź: możliwych par jest 6 \times 6=36, a zatem szansa pojawienia się pary (6,6) wynosi 1/36. Przy dwóch rzutach możliwych par jest 362, a liczbę par „dobrych” otrzymamy odejmując od liczby wszystkich par liczbę par „złych”, których będzie 362 - 352. Ogólniej, przy n rzutach parą kostek szansa wyrzucenia jednej szóstki będzie równa (36^{n} - 35^{n}) / 36^{n} i teraz pozostaje wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną, dla której ostatni ułamek będzie > 1/2. Jest to n = 25 i taka jest odpowiedź na pytanie kawalera de Méré.

Ramka 2. Trójkąt Pascala.


Traktowany jako marginalna ciekawostka, stał się rachunek prawdopodobieństwa trochę szerzej znany dzięki rozprawie Ch. Huygensa (1629-1695) [Bibliografia], w której sformułował on poprawnie podstawowe pojęcia prawdopodobieństwa klasycznego i wartości oczekiwanej oraz wyraził przypuszczenie, iż „czytelnik [zapewne] zauważył, że nie chodzi tu tylko o gry, lecz że zostały tu położone podstawy bardzo interesującej i płodnej teorii”. Rachunek prawdopodobieństwa wyrastał już z gry w kości (u Huygensa było także losowanie z urny), ale jak bardzo „interesująca i płodna teoria” powstawała, tego zapewne nawet Huygens nie przypuszczał.
Następny ważny krok zrobił Jakub Bernoulli pisząc swój traktat [Bibliografia]. Ukazał się dopiero po śmierci autora (zmarł 1705), jednakże jego idee wcześniej przedstawił de Montmort w podręczniku [Bibliografia], w którym analizował on różne gry w kości i karty za pomocą kombinatoryki. W drugim jego wydaniu Mikołaj Bernoulli postawił problem, słynny później jako „paradoks petersburski”: w grze w orła i reszkę gracz otrzymuje 2n funtów, jeśli orzeł pojawi się dopiero w n-tym rzucie; ile powinien on postawić, aby gra była sprawiedliwa? Klasyczna odpowiedź brzmi, że jego stawka powinna być równa wartości oczekiwanej (sekcja 5), ale w tym przypadku wartość oczekiwana jest nieskończona! Aby ten paradoks rozstrzygnąć, Daniel Bernoulli proponował rozróżnić wartość oczekiwaną „matematyczną” od wartości oczekiwanej „moralnej” i w tej drugiej brać pod uwagę czynnik szczęścia. I dopiero w 1937 r. W. Feller pokazał, jak z pomocą uogólnionego prawa wielkich liczb rozstrzygnąć „paradoks petersburski”. Dziś paradoks ten jest ciekawostką historyczną, pokazuje on jednak, z jakimi trudnościami musieli się borykać twórcy nowej dyscypliny.

A dyscyplina rosła i choć nadal brakowało jej uznania i solidnych podstaw, to jednak po wystąpieniach A. de Moivre’a (1667-1754) i P.S. Laplace’a (1749-1827) jej znaczenie trochę wzrosło. Książka de Moivre’a [Bibliografia], w której sformułował m.in. prawo rozkładu Bernoulliego (sekcja 4), będącego idealizacją gry w orła i reszkę oraz prawo rozkładu normalnego (sekcja 6, nazwa nadana później przez H. Poincarégo), przez ponad stulecie była podstawowym podręcznikiem rachunku prawdopodobieństwa. O wiek późniejsze monumentalne dzieło Laplace’a [Bibliografia], pełne idei i problemów, służyło z kolei za podstawowe źródło do końca XIX wieku. A po „wybiciu się na niezależność” w pierwszej połowie XX wieku trwa już nieprzerwany rozwój teorii prawdopodobieństwa, poświadczany sukcesami jej zastosowań i alternatywnym spojrzeniem na świat.
Chcesz dowiedzieć się więcej o historii kości? Na stronie All About Dice (j. angielski) znajdziesz również zasady różnych gier z wykorzystaniem kości.

Niekiedy prawdopodobieństwo i rzeczywistość znacznie się od siebie różnia. Najlpiej się o tym przekonać osobiście eksperymentując z rzucaniem wirtulanych kości w symulatorze z histogramem.

Poznaj lepiej teorie prawdopodobieństwa, jej problemy i odniesienia do hazardu. Czytaj więcej... (j. angielski).