XII. Kariera przypadku

Nim opiszemy najprostsze rozumienie prawdopodobieństwa, parę słów o kombinatoryce, którą można określić jako dział matematyki zajmujący się znajdowaniem liczebności pewnych zbiorów skończonych, związanych z porządkowaniem i losowaniem. Przytoczymy dwa najprostsze i najważniejsze jej pojęcia.

Uporządkowanie liniowe zbioru skończonego nazywa się krótko jego permutacją. Kombinatoryka zaczyna się od pytania, ile jest permutacji w zbiorze n-elementowym, czyli iloma sposobami można uporządkować zbiór złożony z n elementów? Odpowiedź daje proste rozumowanie. Jako element pierwszy możemy wziąć którykolwiek z naszego zbioru, a zatem mamy tu n możliwości. Po wybraniu pierwszego zostało nam już tylko n-1 elementów zbioru, a zatem mamy teraz tylko n-1 możliwości wzięcia drugiego. Tak więc dwa pierwsze elementy możemy wybrać na n(n-1) sposobów. Kontynuując to postępowanie przekonujemy się, że dowolną permutację w zbiorze n-elementowym możemy wybrać na n(n-1)(n-2)...3\cdot2\cdot1 sposobów, a zatem tyle jest permutacji w zbiorze n-elementowym. Tę liczbę matematycy oznaczają krótko n! i czytają „n silnia”, czyli:
n! = n(n-1)(n-2) ... 3\cdot 2\cdot1.

Przejdźmy teraz do sytuacji, która co tydzień skupia na sobie uwagę miłośników gry w Toto-Lotka, z wypiekami na twarzy obserwujących wybór 6 elementów ze zbioru 49-elementowego. Postawmy pytanie: iloma sposobami można wybrać k elementów ze zbioru n-elementowego? Matematycy lubią nazywać obiekty swego zainteresowania i każdy taki wybór nazwali kombinacją k-elementową ze zbioru n-elementowego. Pytanie zatem brzmi: ile jest kombinacji k-elementowych w zbiorze n-elementowym?

Rozumując, jak poprzednio, stwierdzamy, że pierwszego wyboru możemy dokonać na n sposobów, drugiego na n-1 sposobów itd., a zatem dowolnych k elementów zbioru n-elementowego możemy wybrać na:

n(n-1) ... (n-k+1) = n(n-1) ...(n-k+1) ... 3\cdot2\cdot1 / (n-k)(n-k-1) ... 3\cdot2\cdot1 = n! / (n-k)!


sposobów. To jeszcze nie jest odpowiedź na nasze pytanie, wybierane bowiem przez nas układy są uporządkowane, a nam chodzi o wybór, a nie o wybór uporządkowany. Ponieważ porządków (permutacji) w zbiorze k elementowym jest k!, więc otrzymany przed chwilą wynik trzeba jeszcze podzielić przez k!, a zatem liczbę k-elementowych kombinacji w zbiorze n-elementowym określa ostatecznie wzór:

C^{n}_{k} = n! / k! (n-k)!.

Ramka 3. Podstawowe zasady kombinatoryki.
Ilość permutacji zbioru n-elementowego n! = n.(n-1). ...3\cdot2\cdot1

Ilość kombinacji k-elementowych w zbiorze n-elementowym C^{n}_{k} = n! / k! (n-k)!

Wróćmy teraz do Toto-Lotka, gdzie trzeba skreślić kombinację 6 elementów w zbiorze 49-elementowym. Ile jest możliwości? Kombinatoryka daje natychmiastową odpowiedź:

C^{49}_{6} = 49! / 6! 43! = 13 980 886.

Z tej odpowiedzi wynika, że skreślając dowolną szóstkę mamy szansę wygranej jak 1 do 14 milionów (w przybliżeniu).

Mieć piątkę jest łatwiej, znając bowiem szóstkę wystarczy wskazać 5 liczb z 6 wylosowanych i 1 liczbę z 43 z nie wylosowanych, czyli zrealizować jedną z następującej ilości kombinacji:

C_{6}^{5}\cdotC_{43}^{1} = 6! / 5!4!\cdot43! / 1!42! = 6\cdot43 = 258.

Szansa trafienia szóstki do szansy trafienia piątki ma się zatem jak: 1:258. Podobnie, szansa trafienia szóstki do szansy trafienia czwórki ma się jak: 1:13 545.