XII. Kariera przypadku

Jeśli powtarzamy jakieś doświadczenie losowe (rzucamy kostką lub monetą, wyciągamy kartę z talii itp.), a wynik takiego doświadczenia nie zależy od poprzednich, to takie doświadczenia nazywamy niezależnymi (zdarzenia wyłączające się w poprzedniej sekcji są oczywiście niezależne). Takimi doświadczeniami niezależnymi są nie tylko rozpatrywane dotychczas rzuty i wybierania, ale także np. płeć nowonarodzonego dziecka, czas żarzenia się nowej świetlówki, ilość zapałek w pudełku itp. Jeśli każde doświadczenie w takiej serii daje interesujący nas wynik (matematycy lubią mówić: sukces) z tym samym prawdopodobieństwem p, to mamy do czynienia z tzw. schematem Bernoulliego zdarzeń niezależnych, Jan Bernoulli bowiem pierwszy znalazł jego podstawową formułę.
Ramka 4. Schemat Bernoulliego zdarzeń niezależnych.
Jeśli p jest prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczym doświadczeniu, to prawdopodobieństwo k sukcesów w serii n niezależnych doświadczeń jest równe:

P_{n}(k) = C^{n}_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}.

W praktyce, np. w masowej produkcji, spotykamy się często z doświadczeniami, w których liczba doświadczeń jest bardzo duża. Jeśli k_{0} oznacza liczbę sukcesów w n doświadczeniach, to ułamek k_{0}/n jest przybliżeniem znanego nam wcześniej prawdopodobieństwa p (pomijamy problem, jak p otrzymujemy). Otóż w praktyce jest ważna ocena przybliżenia k_{0}/n \approx p, tzn. informacja, z jakim prawdopodobieństwem możemy liczyć na to, że stosunek liczby k_{0} sukcesów do liczby n przeprowadzonych doświadczeń będzie się różnił od prawdopodobieństwa p o mniej, niż o pewne \varepsilon. Innymi słowy, pytamy o ocenę prawdopodobieństwa:

P(\mid k_{0}/n-p \mid < \varepsilon).

Odpowiedź na to pytanie daje pierwsze z tzw. praw wielkich liczb.
Ramka 5. Prawo wielkich liczb Bernoulliego.
Jeśli k_{0} jest liczbą sukcesów w serii n doświadczeń w schemacie Bernoulliego doświadczeń niezależnych z prawdopodobieństwem p pojedynczego sukcesu, to:

P(\mid k_{0}/n-p \mid < \varepsilon) \geq 1-1/4 \varepsilon ^{2}n.

Prawo Bernoulliego powiada, że prawdopodobieństwo przybliżenia jest bardzo duże i, co ważne w zastosowaniach, podaje ocenę tego przybliżenia. Jest to historycznie pierwsze i najprostsze prawo wielkich liczb. We współczesnej probabilistyce praw takich jest więcej i odgrywają one dużą rolę.