XII. Kariera przypadku

Jeszcze na początku XX wieku matematyczny status teorii prawdopodobieństwa wydawał się niepewny i D. Hilbert, który na kongresie matematyków w Paryżu w 1900 r. sformułował 23 problemy, jego zdaniem najważniejsze dla matematyki w nadchodzącym stuleciu, wymienił wśród nich aksjomatyzację rachunku prawdopodobieństwa.

Ważny krok w kierunku uzyskania takiej aksjomatyzacji zrobili w 1923 r. dwaj polscy matematycy, A. Łomnicki i H. Steinhaus, wprowadzając do rachunku prawdopodobieństwa teorię miary. Łomnicki podjął (nie w pełni jednak udaną) próbę oparcia całego tego rachunku na teorii miary, a Steinhaus podał opis nieklasycznego przypadku probabilistycznego (nieskończonej gry w orła reszkę) w języku tej teorii.

Każdy nieskończony ciąg rzutów monetą, zdarzenie elementarne gry w orła i reszkę [Bibliografia], daje się przedstawić w postaci ciągu 0 (reszka) i 1 (orzeł), a w konsekwencji jako liczba z odcinka [0,1]. Zbiór punktów tego odcinka jest więc przestrzenią zdarzeń elementarnych, interesującymi nas zdarzeniami będą podzbiory mierzalne tego odcinka, a ich prawdopodobieństwami – ich miary Lebesgue’a. Pozwala to zapisać nieskończoną grę w orła i reszkę w postaci trójki ([0,1], L, \lambda), gdzie L jest rodziną zbiorów mierzalnych, a \lambda miarą Lebesgue’a.

Osiągnięcie to można nazwać półfinałem aksjomatyzacji teorii prawdopodobieństwa, dziesięć bowiem lat później A. Kołmogorow zaproponował, by za przestrzeń probabilistyczną uznać trójkę (\Omega, \Sigma, \mu), gdzie \Omega jest przestrzenią zdarzeń elementarnych, \Sigma rodziną jej podzbiorów (rodzina ta musi spełniać warunki \sigma-ciała), a \mu miarą unormowaną (tzn. nie przekraczającą wartości 1) na tej rodzinie – z własnościami sprecyzowanymi w paru aksjomatach. Aksjomatyka Kołmogorowa, której nie będziemy tu omawiali [Bibliografia], ustaliła solidne podstawy dla teorii prawdopodobieństwa, nadając jej tym samym prawo pełnego obywatelstwa w matematyce.