II. Grecja klasyczna

.
Czy i jak one istnieją? Grecka filozofia, a w ślad za nią grecka nauka, w tym matematyka, zaczęła się od uznania, że prawdziwa wiedza zawiera się w pojęciach i zdaniach ogólnych, a nie w konkretnych i pojedynczych faktach. Do nauki nie należy zdanie „rzucony wczoraj przez Janka kamień spadł do wody i utonął”, lecz jakieś zdanie ogólniejsze, np. o przyciąganiu ziemskim, z którego ten jednostkowy fakt wynika. Ogólne pojęcia i zawierające je ogólne zdania są już jednak naszymi konstrukcjami, które nie odnoszą się wprost do obserwowanej przez nas rzeczywistości. Znaczy to, że przedmiotem poznania naukowego nie jest rzeczywistość jako taka, jaką ją widzimy, sama w sobie, lecz pewne intelektualne konstrukcje. Grecy to zrozumieli i ich nastawienie filozoficzne kazało im postawić pytanie: co więc właściwie poznajemy?

Pierwszym wielkim świadectwem próby zrozumienia istoty poznania jest teoria idei Platona. Zjawiska, o których informują nas zmysły – powiada Platon w swojej słynnej alegorii jaskini – są jak cienie na ścianie: wtórne, chybotliwe, zmienne.
Jeśli zatem chcemy osiągnąć poznanie prawdziwe, powinniśmy się odwrócić od świata niewyraźnych zjawisk zmysłowych i zwrócić ku doskonałemu i niezmiennemu światu idei (przedmiotom, które rzucają cienie), do którego możemy docierać z pomocą intuicji, wyobraźni czy rozumowania.
Jest to odpowiedź wielka. Wywarła ona wielki wpływ na dzieje myśli, a w szczególności na dzieje matematyki. Pytanie o sens ogólnych konstrukcji intelektualnych jest przecież także pytaniem o sens ogólnych pojęć matematycznych. Czym te pojęcia są? Czym jest liczba, koło, kwadrat? Nie można ich dotknąć ani zobaczyć, można jedynie o nich myśleć. Czy, jak i gdzie one istnieją?

Zgodnie z teorią idei Platona pojęcia matematyczne istnieją realnie i samoistnie, odwiecznie i od nas niezależnie. Istnieją w idealnym świecie, do którego nasza myśl ma jednak dostęp, a zatem są one dostępne naszemu poznaniu.

Stanowisko Platona było i jest dla matematyków bardzo atrakcyjne. Jego wielką historyczną zasługą było mianowicie oderwanie matematyki od świata materii, przy jednoczesnym uznaniu wielkiej roli intuicji i wyobraźni w tworzeniu nowych pojęć oraz dedukcji przy uzyskiwaniu pojawiających się w stosunku do nich pytań. To oderwanie i uzyskana w ten sposób swoboda było jak wyrwanie się na wolność i stanowiło niezwykle silny impuls dla dalszego rozwoju, nieskrępowanego fizycznym konkretem czy empirycznym sprawdzaniem. Konsekwencją stanowiska Platona jest też uznanie, że matematyka ma głęboki sens, a zatem i to, co robią matematycy, ma głęboki sens.

Stanowisko Platona podzielało i podziela wielu, może nawet większość matematyków. Słabością tego stanowiska jest jednak brak wyraźnego związku między platońskim światem idei a otaczającym nas światem rzeczywistym. Dlaczego badanie obiektów niedostępnego zmysłom idealnego świata przynosi tyle korzyści w otaczającym nas świecie rzeczywistym?

Inną odpowiedź dał Arystoteles. Według niego obiekty matematyczne istnieją, ale nie samoistnie w idealnym świecie, lecz jako myślowe abstrakcje konkretnych obiektów fizycznych. Realnie istnieją tylko pojedyncze obiekty, a ich wyabstrahowane własności, wyrażone w języku matematyki, mają byt tylko pomyślany. Stanowisko Arystotelesa nie odbierało matematyce znaczenia, ograniczało jednak tę wolność, jaką dał jej Platon.

Wspólną cechą stanowisk Platona i Arystotelesa jest tzw. realizm pojęciowy, przypisujący pojęciom (w tym matematycznym) byt rzeczywisty. Pogląd Platona, przyznający im byt rzeczywisty i samoistny, nazywa się skrajnym realizmem pojęciowym, pogląd zaś Arystotelesa, przyznający im byt rzeczywisty, ale niesamoistny – nazywa się umiarkowanym realizmem pojęciowym.

Dyskusja nad sposobem istnienia pojęć (matematycznych) odżyje w średniowieczu w postaci słynnego „sporu o uniwersalia” (p. niżej, sekcja V.7).
Może chcesz poczytać Platona w oryginale i w angielskim tłumaczeniu? Czytaj więcej... (j. angielski).

Platon był filozofem, który pisał wiele o koncepcji państwa i życia społecznego. Czytaj więcej... (j. angielski).

Jednak niektóre z jego koncepcji mają mocno totalitarny charakter. Chcesz poznać elementy myśli totalitarnej w filozofii Platona? Czytaj więcej... (j. angielski).