XI. Powrót nieskończoności

.
Był to pogląd, który głosił, że matematyka opiera się na logice, a nawet więcej, że matematyka jest częścią logiki [Bibliografia]. Człowiekiem, który ten pogląd wyraźnie sformułował i przez całe swoje życie bronił, był Bertrand Russell. Zwolenników tego poglądu nazywa się logistykami.
Źródło: Wikipedia.

Logistycy powoływali się na różnych filozofów, przede wszystkim na Platona i Arystotelesa oraz Locke’a i Leibniza, u których znajdowali inspirującą myśl, że matematyka nie ma własnego przedmiotu, lecz zajmuje się czystymi relacjami między ogólnymi pojęciami, że matematykę można zaksjomatyzować (starożytni Grecy), a rozumowania matematyczne zalgorytmizować (characteristica universalis Leibniza).

Kontynuując myśl Leibniza George Boole (1815-1864), Augustus de Morgan (1806-1871), Charles Saunders Pierce (1839-1914) i ich następcy rozwijali algebrę logiki z intencją przebudowania logiki more mathematico. Jako pierwszy ten cel osiągnął Gottlob Frege (1848-1925), który zbudował implikacyjno-negacyjny rachunek zdań, wzbogacony o kwantyfikatory [Bibliografia]. Logika stawała się solidną teorią aksjomatyczno-dedukcyjną.

Równolegle do tych wysiłków pojawiła się i była realizowana tendencja do oparcia analizy na arytmetyce, zwana arytmetyzacją analizy (sekcja IX.9). W jej trakcie pokazano, że teorię liczb rzeczywistych, leżącą u podstaw analizy matematycznej, można wyprowadzić z arytmetyki liczb naturalnych, a tę ostatnią, jak pokazał Peano, można zaksjomatyzować (sekcja XIII.3). Ta sytuacja rodziła naturalną pokusę: gdyby udało się przerzucić pomost między systemem Fregego a arytmetyką Peano, mielibyśmy matematykę opartą na logice...

Czytając Fregego Russell zauważył jednak, że jego system logiki był sprzeczny, zawierał bowiem antynomię zbioru wszystkich zbiorów [Bibliografia]. Był to błąd, który jednak nie kwestionował celu, do którego Frege zmierzał i marsz ku temu celowi podjął Russell wespół z filozofem Alfredem Northem Whiteheadem (1861-1947), a wyniki swoich rozważań uznali za tak ważne, że swemu dziełu nadali tytuł rodem z Newtona [Bibliografia]. Kierując się podwójnym pragnieniem usunięcia antynomii z matematyki oraz wyprowadzenia matematyki z logiki zbudowali aksjomatyczno-dedukcyjny i sformalizowany system logiczny, składający się z 4 aksjomatów rachunku zdań i 2 aksjomatów rachunku funkcyjnego, nie dopuszczający antynomii zbioru wszystkich zbiorów. Tak narodziła się współczesna logika matematyczna. Choć jej początki były wcześniejsze, to według dość zgodnej opinii historyków dopiero dzieło Russela-Whiteheada nadało logice matematycznej status wyraźnie ukształtowanej dziedziny matematyki.

Gorzej im poszło ze sprowadzeniem matematyki do logiki, a to dlatego, że niektóre twierdzenia matematyczne wymagają dla swoich dowodów, oprócz aksjomatów logicznych, także takich jeszcze założeń jak: aksjomat nieskończoności czy aksjomat wyboru. W najprostszej postaci aksjomat nieskończoności powiada, że dla każdej liczby naturalnej istnieje jej następnik, zaś aksjomat wyboru postuluje, że dla każdej rodziny zbiorów parami rozłącznych istnieje jej selektor. Nie są to aksjomaty logiczne (postulują one istnienie jakichś obiektów, czego aksjomaty logiki nie robią) i Russell i Whitehead słusznie nie chcieli takich aksjomatów włączać do swojej logiki, ale ich próby obejścia tej trudności (a były jeszcze i inne) się nie powiodły.

Logicyzm się więc nie powiódł, ale odegrał ważną rolę. Jego trwałymi osiągnięciami było ugruntowanie logiki matematycznej, jako dyscypliny matematycznej oraz zasugerowanie sposobu systematyzacji całej matematyki. Logistycy dokonali redukcji matematyki nie tyle do logiki, co do teorii mnogości i ta teza jest powszechnie uznawana, a do jej utrwalenia przyczyniła się działalność grupy francuskich matematyków występujących pod nazwą Bourbaki.
Bertrand Russell stworzył dzieło Principia Mathematica, które miało sprowadzić matematykę do logiki. Napisał 3 z 4 zaplanowanych tomów. Tekst dzieła jest trudny - jak stwierdził autor w wywiadzie udzielonym na swoje 90. urodziny, że jest je zdolne przeczytać tylko sześciu ludzi, z których trzech było Polakami. Możesz sie o tym przekonać, czytając 3 tomy udostępnione przez Uniwersytet Michigan (j. angielski).