Drukuj książkęDrukuj książkę

V. Przetrwanie dorobku starożytności

.

Serwis: Uniwersytet Jagielloński bez Granic
Kurs: Matematyka a dzieje myśli
Książka: V. Przetrwanie dorobku starożytności
Wydrukowane przez użytkownika: Gość
Data: środa, 19 czerwiec 2019, 23:13

Kontrast między kulturą grecką a rzymską najlepiej widać w ich stosunku do matematyki. Dla Greków matematyka była najwyższym wykwitem ducha, dla Rzymian istniała tylko jej strona praktyczna: rachunki na abakach oraz miernictwo ziemskie wykonywane przez agrimensores. Po rzymskiej matematyce został nam tylko ich zapis liczbowy, używany do dzisiaj w królewskich i papieskich imionach, np. Jan III Sobieski, Jan Paweł II, a czasem także przy uroczystych okazjach, np. XXVII Igrzyska Olimpijskie.

Kończyła się starożytność i zaczynało średniowiecze. Za koniec starej i początek nowej epoki przyjmuje się różne daty; z naszego punktu widzenia najbardziej symboliczne znaczenie ma rok 529, kiedy to mocą edyktu cesarza Justyniana została w Atenach zamknięta Akademia Platońska, istniejąca tam nieprzerwanie ponad 900 lat, a jednocześnie św. Benedykt z Nursji (ok. 480 – 547) założył klasztor Monte Cassino, kładąc podwaliny pod rozwój zachodniego monastycyzmu, który miał także wymiar intelektualny.

W trwającym kilka wieków okresie przejściowym między starożytnością a ukształtowaniem się nowych organizmów państwowych w późniejszym średniowieczu Europę zalewały różne ludy (stąd ten okres nazywa się czasem wędrówką ludów). Wchodziły i urządzały sobie mieszkanie w domu, którego nie zbudowały i w świecie, który był im obcy. Obcy, ale pociągający. W konsekwencji rozpoczął się bezprzykładny proces, na ogromną skalę przestrzenną i czasową, przyswajania sobie przez te ludy dziedzictwa Grecji, Rzymu i chrześcijaństwa. Po kilku wiekach z tego tygla wyłoni się inna Europa, która da początek nowej, dynamicznej kulturze.

Ponieważ uczący się byli kulturowo prymitywni i językowo obcy, powstał problem selekcji ogromnego dorobku starożytności oraz dostosowania go do sposobu myślenia nowych odbiorców. Największe zasługi na tym polu położyli Capella, Boecjusz i Kasjodor.

Martianus Capella (V wiek) napisał 9-tomowe dzieło, obejmujące wybrany przez niego materiał do nauczania w rzymskich szkołach. Część pierwsza obejmowała naukę łaciny, umiejętność poprawnego rozumowania i logikę, a druga pitagorejską matematykę, tj. arytmetykę, muzykę, geometrię i astronomię. Na kilka następnych wieków stało się ono podstawowym źródłem i kanonem nauczania wiedzy antycznej w formie siedmiu przedmiotów, później nazwanymi sztukami wyzwolonymi (z łacińska artes liberales).

Boecjusz (ok. 480-524) był Rzymianinem z senatorskiego rodu, który studia odbył w Akademii Platońskiej, a po powrocie wstąpił na służbę gockiego króla Teodoryka. Rzymianin w służbie Germanina, wychowanek pogańskiej Akademii w środowisku chrześcijan, katolik w kręgu arian – znalazł się w sytuacji dramatycznie złożonej, co skończyło się dlań tragicznie, bo został uwięziony i stracony [Bibliografia]. Wcześniej jednak siedem sztuk wyzwolonych Capelli ujął w dwa wielkie cykle, do których dodał własne komentarze. Cykl niższy zwany trivium (artes triviales lub artes rationales, czyli gramatyka, retoryka, dialektyka) i wyższy zwany quadrivium (artes quadriviales lub artes reales, czyli arytmetyka, muzyka, geometria, astronomia) – stały się podstawą nauczania w całym łacińskim świecie chrześcijańskim.
Źródło: Wikipedia.
Dlaczego studiować sztuki wyzwolone? Jakie dają korzyści, mimo iż nie wiążą się z przyszłą karierą? Zapoznaj się z korzyściami, jakie daje współczesna odmiana sztuk wyzwolonych (literatury, języków, filozofii, historii, matematyki, przyrodoznawstwa). Czytaj więcej... (j. angielski).



Dla historii matematyki Boecjusz jest ważny jako autor dwóch dzieł, a mianowicie De Institutione Arithmetica libri duo [O zasadzie arytmetyki ksiąg dwie], będącego uproszczonym przekładem arytmetyki Nikomachosa, z własnymi dodatkami dotyczącymi ulepszeń abaku, oraz wielotomowej Geometrii, której tom pierwszy zawierał wyciąg z trzech pierwszych tylko ksiąg Elementów Euklidesa, z całkowitym wszakże pominięciem dowodów, natomiast pozostałe tomy traktowały o mierzeniu figur płaskich w stylu agrimensores. W porównaniu z wielkim bogactwem matematyki greckiej było to niewiele, ale w nadchodzących wiekach nawet ta cząstka świeciła jak gwiazda pierwszej jakości.

Dzieło Boecjusza kontynuował Kasjodor (ok. 480 – ok. 575), również Rzymianin i dworzanin króla Teodoryka, będący tam kimś w rodzaju ministra oświaty. Chcąc chronić spuściznę przeszłości, a przekonany, że władze nie będą w stanie tego zrobić, przesiedlił się do klasztoru wraz z całą swoją biblioteką, zapoczątkowując zakonny zwyczaj tłumaczenia i przepisywania starych tekstów. Zostawił encyklopedyczne dzieło Institutiones [Zasady], przyczyniając się i w ten sposób do utrwalenia kanonu trivium i quadrivium.
W czasach Boecjusza chrześcijaństwo było już religią panującą i dominującym czynnikiem kulturotwórczym. W tej sytuacji nieuchronna była konfrontacja greckiej tradycji intelektualnej, z ducha racjonalistycznej, zorientowanej na świat materialny i ograniczonej do tego świata, z chrześcijaństwem, zorientowanym na świat duchowy, pozamaterialny. Reakcje były różne, np. św. Augustyn (354-430) głosił pierwszeństwo wiary, a wiedzę miał za bezużyteczną ciekawość, jeśli odciąga ona ludzi od Boga [Bibliografia]. To „jeśli” było jednak ważne, grecka tradycja intelektualna, w tym matematyka, nie została bowiem odrzucona, chociaż dominacja pierwiastka duchowego na długo zepchnęła ją w cień. Tradycja przetrwała, na co złożyła się nie tylko jej ówczesna słabość, wskutek czego nie była traktowana jako zagrożenie dla chrześcijaństwa, ale i pozytywne działania takich ludzi jak Boecjusz, a pod koniec wieków średnich św. Franciszek (1182-1226) i św. Tomasz (1225-1274).

Boecjusz był jednym z pierwszych głosicieli połączenia wiary i wiedzy, co opierało się na głębokim zaufaniu do przyrodzonych sił poznawczych człowieka i było podniesieniem rozumu na najwyższy, z punktu widzenia wiary, szczebel uznania. Znaczenie tego uznania najlepiej uwidacznia kontrast między chrześcijańską Europą a kulturami Islamu, Indii i Chin (p. także niżej, sekcja 3).

Św. Franciszek widział w świecie doskonałe dzieło Boże. A skoro jest ten świat dziełem Bożym, to nie tylko nie należy się od niego odwracać, ale przeciwnie, należy go podziwiać, starać się zrozumieć i widzieć w tym wyraz i potwierdzenie Bożej mądrości.

Św. Tomasz z kolei „pogodził” Arystotelesa z chrześcijaństwem, komentując jego filozofię w duchu wiary i nadając tej filozofii własny, indywidualny wyraz. Wyrosła z tego oryginalna filozofia, wkrótce nazwana tomizmem, która przez wieki wywierała potężny wpływ na umysłowość Europy. Dzięki św. Tomaszowi starożytna myśl filozoficzna mogła zostać zasymilowana przez Europę, pobudzając rozwój myśli oryginalnie już europejskiej.

Obaj, św. Franciszek i św. Tomasz, byli zakonnikami. Św. Franciszek założył zakon franciszkański, a św. Tomasz był członkiem niedawno wtedy powstałego zakonu dominikańskiego. Były to tzw. zakony „żebracze” (mendykanckie), ich członkowie mieli się bowiem utrzymywać z pracy rąk własnych i jałmużny. Przez kilka następnych wieków oba te zakony dominowały w życiu intelektualnym chrześcijańskiej Europy.

Działania takich ludzi jak Boecjusz, św. Franciszek czy św. Tomasz przeważyły, ale napięcie między wiarą a rozumem utrzymuje się do naszych czasów. Rzadko jednak osiąga ono poziom niszczący.
Wraz ze „zmierzchem i upadkiem cesarstwa rzymskiego” [Bibliografia] dorobek matematyki greckiej popadł w Europie niemal całkowicie w zapomnienie (artes liberales, a ściślej rzecz biorąc quadrivium utrwalało jedynie elementy tego dorobku, ale już one sprawiały, że zdawano sobie sprawę z jego znaczenia i żywiono doń wielki szacunek). W niewielkim stopniu podjęli go Grecy bizantyjscy, choć ich Cesarstwo trwało do roku 1453, przechowali go natomiast Arabowie, do czego w pewnej mierze przyczyniło się potępienie nestorianizmu przez sobór w Efezie w 431 r. Potępieni nestorianie, wśród których było wielu ludzi wykształconych, wywędrowali na wschód, a niektórzy z nich trafili na dwór kalifów bagdadzkich. Pierwsi kalifowie nakazywali przekładać na arabski traktaty indyjskie i greckie, a Al-Mamun (kalif 813-833) założył nawet w Bagdadzie Dom Mądrości, który obejmował bibliotekę i obserwatorium i przetrwał dwieście lat. Na początku X wieku klasycy matematyki greckiej byli już dostępni w dobrych przekładach arabskich, do których tłumacze nieraz jednak dodawali własne komentarze, czasem próbując także własnych sił.

Jednym z bibliotekarzy i autorem kilku dzieł oryginalnych był Al-Chwarizmi (ok. 780 – ok. 850). W jednym z dwu zachowanych jego dzieł wprowadził on 9 cyfr hinduskich oraz kółko na oznaczenie zera, a także algorytmy podstawowych działań; ułamków używał jednak w postaci egipskiej, co świadczy zarówno o sile tej tradycji, jak i długiej jeszcze drodze do odkrycia i przyswojenia Europie wielkich zalet systemu dziesiętnego. Od tego dzieła zaczęło się już jednak używanie cyfr „arabskich”, ale kilka wieków jeszcze potrwa, nim się one w Europie upowszechniły. Drugie było dziełem „o tym, czego ludzie stale potrzebują przy spadkach, testamentach, podziałach i procesach, w handlu, a przede wszystkim o tym, z czym się spotykają przy mierzeniu gruntów i kopaniu kanałów, w geometrii i przy innych podobnych zajęciach”. Przebija w nim wtórność i eklektyzm, jednakże przez parę następnych wieków cieszyło się wielkim powodzeniem. Jego tytuł wskazuje na zasadniczo praktyczną orientację matematyki arabskiej, w dziele zaś mamy równania kwadratowe i liniowe, ujęte jednak w formie konkretnych zadań ze wskazówkami postępowania (jak u Egipcjan i Babilończyków). Trwałym śladem sławy Al-Chwarizmiego i dowodem wielkiego wpływu jego dzieł są dwa terminy: w tytule drugiego dzieła pojawiło się słowo „al-ğabr” (o znaczeniu niejasnym), od którego pochodzi współczesny termin „algebra”, jego zaś przekład łaciński z XII wieku, który zaczynał się od słów Dicit Algorithmi (czyli „mówi Al-Chwarizmi”), dał początek słowu „algorytm”.

Matematyka islamu [Bibliografia] była silnie powiązana z astronomią, której głównym zadaniem było rozwiązywanie kilku typowych zadań o znaczeniu religijnym, jak wyznaczanie dat związanych z fazami Księżyca (w chrześcijaństwie taką datą jest Wielkanoc), początku Ramadanu, kierunku na Mekkę itp. Rozwiązywanie takich zadań sprowadza się do znajdowania nieznanych boków lub kątów w trójkącie sferycznym, co wymaga pewnej znajomości trygonometrii. W rezultacie Arabowie znali w IX wieku sześć funkcji trygonometrycznych (tych samych co my), z których jedna była obcego pochodzenia, a pozostałe ich własne. Obecna nazwa tej obcej ma ciekawą historię, którą tu opowiemy jako przyczynek do etymologii terminów matematycznych: znana wcześniej w Indiach, nazywała się tam ardhajya (w sanskrycie), co oznacza połowę łuku; skrócona przez Arabów i transkrybowana w ich alfabecie stała się jyb, a z czasem jayb, co znaczyło „kieszeń” lub „zatoka”; kierując się tym drugim znaczeniem, tłumacze łacińscy nazwali ją sinus, co jest łacińską nazwą zatoki i współczesną nazwą tej funkcji.

W wiekach X-XII nauka arabska osiągnęła zenit, wyprzedzając o stulecia chrześcijański Zachód, który nie mógł się równać z kulturowymi osiągnięciami islamu, aż do czasów Renesansu. Zakres zainteresowań matematyki arabskiej nie wykraczał jednak istotnie poza matematykę grecką, oryginalne bowiem osiągnięcia matematyków arabskich sprowadzały się do wprowadzenia notacji „arabskiej”, rozwinięcia trygonometrii i rozwiązywania metodami geometrycznymi niektórych zadań, równoważnych równaniom trzeciego stopnia. A w wieku XII, kiedy na Zachodzie św. Tomasz asymilował dla chrześcijaństwa filozofię grecką, przede wszystkim Arystotelesa – islam odrzucił próby pogodzenia nauki greckiej z Koranem. Orędownikiem pogodzenia był ibn Sima (980-1037), znany i wpływowy na zachodzie jako Avicenna, większy jednak wpływ uzyskał w następnym wieku Al-Ghazali, według którego racjonalne tłumaczenie świata nie daje się pogodzić z zasadą wszechmocy Boga. Był to krok fatalny, najważniejsza może przyczyna zaniku arabskiej nauki i późniejszej stagnacji muzułmańskiej kultury [Bibliografia]. Nie zmniejsza to jednak największej zasługi Arabów, jaką było przechowanie wiedzy starożytnego świata.

W Chinach i Indiach było trochę inaczej, ale i tam nauka, a w szczególności matematyka, nie miały tak wysokiej pozycji jak w Grecji i średniowiecznej Europie.
Kościół i powstające w Europie struktury państwowe potrzebowały wykształconych ludzi i już Karol Wielki (768-814) przykazywał, aby przy każdym biskupstwie i każdym opactwie powstawały ogniska nauczania, szkoły katedralne i klasztorne. Ściągnął on z Irlandii mnicha imieniem Alkuin (735-804), który na jego polecenie zakładał takie szkoły we Francji i w Niemczech, a pod koniec życia kierował szkołą „wyższą” w Tours. Były to jeszcze szkoły ubogie i uboga w nich nauka, ale dzięki nim rosła liczba ludzi umiejących czytać i pisać [Bibliografia], wskutek czego przeciwstawiały się zastojowi. Renesans karoliński trwał jednak krótko i po śmierci Karola Wielkiego Europa pogrążyła się na kolejne dwa wieki w zamęcie, z którego zaczęła wychodzić dopiero w XI wieku.

Przykładem ówczesnego stanu wiedzy niech będzie Gerbert z Aurillac (ok. 940 – 1003), mnich francuski, który otrzymał wykształcenie w szkole klasztornej, w latach 967-970 studiował w Hiszpanii naukę arabską, a po powrocie uczył quadrivium w szkole biskupiej w Reims i zyskał tam szeroką sławę. Jego niezwykła na owe czasy wiedza była przedmiotem niemal zabobonnego podziwu, a nawet podejrzeń o konszachty z diabłem. Popierany jednak przez cesarzy Ottona I i Ottona III został biskupem w Reims, zaś w roku 999 papieżem jako Sylwester II. Główną jego zasługą dla nauki było wydobycie, opracowanie i upowszechnienie niektórych starych tekstów matematycznych, głównie arytmetyki i geometrii Boecjusza, oraz rozpowszechnienie astrolabium i abaku. Jego list do Adalbolda, biskupa Utrechtu, jest „pierwszą pracą matematyczną średniowiecza, która zasługuje na tę nazwę” [Bibliografia]. W liście Gerbert wyjaśnia, dlaczego pole trójkąta równobocznego liczone „geometrycznie” (tzn. jako iloczyn podstawy i połowy wysokości) różni się od pola liczonego „arytmetycznie” (tzn. jako a(a+1)/2, gdzie a jest bokiem tego trójkąta)...

Poczynając od XI wieku Europa zachodnia wynurzyła się już na dobre z barbarzyństwa. Dawno już ustały wędrówki ludów, a teraz skończyły się dręczące najazdy (normańskie, arabskie, węgierskie), a w uprawie roli nastąpił znaczny postęp wywodzący się z wielkich posiadłości klasztornych. Kształtujący się system feudalny pozwalał niewielkiej jeszcze warstwie książąt kościelnych i świeckich na luksus oderwania się od codzienności, mnożące się zaś kontakty z innymi kulturami (handlowe, militarne i inne), przede wszystkim z Arabami i Bizancjum, przynosiły nie tylko wyroby zbytku, ale i nowe idee – dalszy ferment postępu. Budziła się ciekawość świata. Oparciem dla tego ruchu umysłowego stały się miasta z ich nową rolą, już nie tylko obozów warownych i władzy kościelnej, administracyjnej czy sądowniczej, ale także ośrodków specjalizującej się wytwórczości. Były to czynniki sprzyjające, ale było też coś niezwykłego w samej tej kulturze, która wyłaniała się z europejskiego tygla, że nastąpił wówczas wielki i trwający do dzisiaj zryw. Że tak być nie musiało, świadczą współczesne tej Europie przykłady innych wielkich kultur, np. islamu, w których zastój przeważył nad ruchem.
Kontynuując dwuwiekową już tradycję, Grzegorz VII (papież 1073-1085) nakazał w 1079 r. każdemu biskupowi utrzymywanie szkoły, w której miały być nauczane „sztuki literackie”. Każdą taką szkołę miał nadzorować kanclerz biskupa, jednakże duży napływ mistrzów i studentów, który nastąpił, oraz poszerzanie zakresu nauczania zrodziły w niektórych miastach tendencję do uwolnienia się spod biskupiej kurateli. Wzorem byli rzemieślnicy, którzy dla obrony swoich praw i utrzymania monopolu wytwórczości łączyli się w cechy. Najwcześniej, bo już w drugiej połowie XI wieku powstała, wzorowana na cechach, wspólnota medyków w Salerno, nieco później wspólnota „dekretalistów” (czyli prawników) w Bolonii, jednakże wzorem nowej instytucji, która się z tego ruchu wykluła, czyli uniwersytetu, obejmującego wszystkie nauki uznane za godne nauczania i łączącego nauczających mistrzów oraz uczących się żaków – stał się Paryż, gdzie organizujące się od pewnego czasu wspólnoty osiągnęły kształt najbardziej dojrzały [Przypis]. W tym samym mniej więcej czasie powstały też uniwersytety w Cambridge (1209), Oxfordzie (1214) i Padwie (1222), a później i inne, ale aż do końca średniowiecza Paryż pozostał wzorem i główną uczelnią łacińskiego świata.

Niekiedy porównuje się uniwersytety europejskie z innymi ośrodkami nauki i nauczania, jak Akademia Platońska, Muzeum i Biblioteka w Aleksandrii, Dom Mądrości w Bagdadzie itp. Obok podobieństw są jednak i różnice, a te były tak znaczne i ważne, że na ich tle uniwersytety stanowią wyraźnie nową jakość. Spośród najbardziej charakterystycznych cech uniwersytetów wymieńmy następujące:

a) Uniwersytety znalazły się pod opieką papieża, który jedyny miał wówczas prawo ich zakładania (uniwersytety zakładane przez królów i kościoły Reformacji pojawiły się znacznie później). Z jednej strony uniezależniało to je od wszelkiej władzy lokalnej (biskupa, króla, miasta), co dawało im sporą autonomię, a z drugiej nadawało im jednolitą formę i narzucało te same wymagania, co z kolei sprzyjało przemieszczaniu się magistrów i żaków od jednego ośrodka uniwersyteckiego do drugiego.

b) Wszystkie uniwersytety posługiwały się tym samym językiem, mianowicie łaciną, miały tę samą strukturę wydziałową (uniwersytet pełny miał cztery wydziały: sztuk wyzwolonych, czyli filozoficzny, a nadto medyczny, prawny i teologiczny), uczyły według tego samego kanonu (np. kanon wydziału filozoficznego składał się z trivium i quadrivium) i żądały od swoich żaków i scholarów takich samych umiejętności.

c) Uniwersytety miały monopol na nadawanie tytułów uprawniających do wykonywania zawodu scholara, medyka, dekretalisty i teologa.

Źródło: Wikipedia.

Wymienione cechy stanowiły o atrakcyjności uniwersytetu, a jednocześnie sprzyjały rozpowszechnieniu samej instytucji oraz wędrówkom żaków i scholarów, które wcześnie stały się powszechną praktyką. Dzięki tym cechom, a także powszechności i wędrówkom żaków i scholarów, uniwersytety stały się mocnym oparciem dla szybko rosnącego europejskiego środowiska intelektualnego i niezwykle dynamicznym czynnikiem kulturotwórczym.
Chcesz lepiej poznać życie średniowiecznego uniwersytetu? Czytaj więcej... (j. angielski).


Przez długie wieki w chrześcijaństwie dominowała tendencja platońsko-augustyńska, której zasadniczą cechą było zaniedbywanie strony materialnej na rzecz pierwiastka duchowego. Tę tendencję odwrócili św. Franciszek z Asyżu (1182-1226), który zwrócił się ku światu, jako doskonałemu dziełu Boga, oraz św. Tomasz z Akwinu (1225-1274), który przyswoił chrześcijaństwu Arystotelesa. W tymże czasie, w wiekach XII-XIII, w wyniku żmudnej pracy licznych tłumaczy, początkowo ze źródeł arabskich, a później stopniowo także z oryginalnych greckich – Europa przyswoiła już sobie znaczną część dziedzictwa intelektualnego starożytności. Ponieważ treść przyswojonego dziedzictwa, które w większości zresztą odnosiło się do świata, była ogromna – powstał problem orientacji w całości. Potrzebna była metoda.

Najpierw pojawiły się wyciągi i zbiory sentencji, które w swojej najwcześniejszej formie były bezkrytycznym zestawianiem różnych tez z dzieł klasyków starożytności i Ojców Kościoła. Ponieważ materiał taki obejmował treści bardzo różne, a nawet sprzeczne, około roku 1100 zaczęły się pojawiać zbiory sentencji nowego rodzaju. Jednym z takich zbiorów, który wywarł wielki wpływ, było Sic et non Piotra Abelarda (1079-1142). Dzieło to zawierało zestawienie kilkuset tekstów z Ojców Kościoła, ale najważniejsza w nim była przedmowa wyłuszczająca zasady, z pomocą których sprzeczności mogły być rozstrzygane. W świetle tych zasad poznane dotychczas zasoby myśli zaczynały być rozpatrywane bardziej krytycznie, a recepcyjna postawa autorów zbiorów sentencji zaczęła przechodzić w myślenie bardziej samodzielne, które się rozwinie pod nazwą scholastyka, stanowiącej „jedno z najbardziej doskonałych narzędzi poznania, jakie kiedykolwiek zostało wykute” [Bibliografia].

Istotą scholastyki było przeciwstawianie wywodów i tekstów autorytetów, otwarta i nieskrępowana nad nimi dyskusja, a w końcu własna odpowiedź. Nieco ściślej, najpierw powinno być lectio (przedstawienie problemu i różnych stanowisk), po nim disputatio (otwarta i krytyczna dyskusja), a w końcu conclusio, czyli własne rozwiązanie mistrza [Bibliografia].

Styl scholastyczny był suchy, pozbawiony retoryki, charakteryzujący się dbałością o ścisłe wyrażanie się i poprawne rozumowania. Bez trudu rozpoznajemy w nim charakterystyczne cechy późniejszego stylu matematycznego, co pozwala uznać scholastykę za ważny element wybitnie sprzyjający odrodzeniu się myśli matematycznej.

Scholastyka nie była jednak jeszcze matematyką. Matematykę łatwo się traci, ale z trudem odzyskuje i na jej odrodzenie trzeba było poczekać jeszcze parę wieków.
Przyswajanie dziedzictwa starożytności przypominało także stare spory i prowadziło do ich odnowienia. Przypomnimy tutaj jeden z nich.

Pod koniec starożytności neoplatończyk Porfiriusz (232-305) zadał głośne potem pytanie: „co się tyczy rodzajów i gatunków […] czy są czymś rzeczywistym, czy tylko zwykłymi pojęciami umysłu”? [Bibliografia] Pytanie to podjął i rozwinął Boecjusz (480-526). Używając terminu universale (po polsku utarł się termin powszechnik lub, w liczbie mnogiej, uniwersalia) pytał, czy powszechniki (uniwersalia) istnieją realnie poza umysłem czy są przedmiotem intelektu? Pytanie trwało i poczynając od XI wieku filozofowie średniowieczni przypominali stare odpowiedzi (Platon, Arystoteles, p. wyżej sekcja II.10) i formułowali nowe, co w krótkim czasie doprowadziło do gorącego sporu, znanego w historii filozofii jako spór o uniwersalia, który swoje apogeum osiągnął w późnym średniowieczu [Bibliografia], a w matematyce odżył w XX wieku. W czasie tego sporu pojawiła się odpowiedź nowa, mianowicie nominalizm, który odmawia uniwersaliom nie tylko istnienia, ale także przeczy, jako byśmy mieli ich pojęcia. Posługujemy się nazwami ogólnymi (po łacinie nomen znaczy nazwa, stąd nominalizm), bo są one przydatne, ale ich odpowiednikami są konkrety, a nie byty samodzielne (Platon) lub tkwiące w konkretach (Arystoteles). Rzeczy nazywanych tym samym słowem nie łączy nic poza tym, że są one nazywane tym samym słowem, np. sama myśl o koniu jako takim, nieokreślonym co do maści, płci, wieku, wzrostu i innych cech, jest w sobie sprzeczna (koń nie może być jednocześnie ogierem i klaczą, młody i stary, gniady i siwy itd.). Według nominalisty istnieją tylko byty indywidualne, nie ma natomiast, ani pojęć ogólnych, ani bytów ogólnych.

Na pytanie o naturę uniwersaliów mamy więc dwie zasadnicze, diametralnie różne odpowiedzi: realizm, który uznaje realne ich istnienie, bądź samoistne (Platon) bądź niesamoistne (Arystoteles), oraz nominalizm, który zaprzecza istnieniu uniwersaliów i uznaje realne istnienie tylko bytów konkretnych, jednostkowych.

Silnym orężem współczesnych realistów w polemice z nominalistami jest tzw. argument z niezbędności, który głosi, że jeśli uznajemy za realne pojęcia jakiejś teorii fizycznej, to konsekwentnie powinniśmy uznać za realne także pojęcia matematyczne, na których ta teoria się opiera [Przypis]. Doceniając wagę argumentu z niezbędności, współcześni nominaliści zwykle zaczynają swoje rozważania od polemiki z tym argumentem.

Głównym przedmiotem sporu między realistami a nominalistami jest natura obiektów matematycznych. Czym one są? Jeśli, jak chce realista, matematyka bada jakiś realnie istniejący, choć niedostępny zmysłom, świat tworów idealnych, to jak jej badania mają się do rzeczywistości fizycznej, której poznaniu matematyka tak skutecznie służy? A jeśli matematyka bada tylko słowa, to co ona właściwie bada i dlaczego jest skuteczna? W obu przypadkach są duże trudności z wytłumaczeniem, dlaczego matematyka jest skutecznym narzędziem opisywania rzeczywistości i taka jest istota sporu o uniwersalia w matematyce [Bibliografia].

Spór między realistami a ich przeciwnikami odnosi się w szczególności do aksjomatów w matematyce. Wedle realistów nie wolno przyjmować aksjomatów w sposób dowolny, są one bowiem wyrazem istniejącego niezależnie od nas świata idealnego. Wedle ich przeciwników aksjomaty nie są wyrazem poznania świata idealnego (bo takiego najczęściej nie uznają), lecz stanowią pewną odmianę definicji (tzw. definicje uwikłane) terminów, jakie w nich występują, a zatem mogą być przyjmowane w zasadzie dowolnie, z jedynym zastrzeżeniem niesprzeczności.

Dobrej ilustracji tej sytuacji dostarcza teoria liczb rzeczywistych, które uchodzą za obiekt dobrze określony i mający powszechnie akceptowaną aksjomatykę. Pochodząca od Cantora hipoteza continuum mówi, że każdy podzbiór nieskończony zbioru liczb rzeczywistych jest, bądź przeliczalny, bądź równoliczny z całym zbiorem liczb rzeczywistych. Jak udowodnił Gödel, dołączenie hipotezy continuum do aksjomatyki liczb rzeczywistych daje układ niesprzeczny, a jak udowodnił Cohen, dołączenie negacji hipotezy continuum, także daje układ niesprzeczny. Realista powie, że skoro liczby rzeczywiste istnieją, to hipoteza continuum jest albo prawdziwa albo fałszywa, a skoro nie możemy tego stwierdzić w oparciu o istniejący układ aksjomatów, to znaczy to tylko tyle, że jest on za słaby i trzeba ten układ stosownie uzupełnić. Przeciwnik realizmu powie, że w każdym układzie aksjomatów jest tylko tyle, ile weń włożyliśmy, a zatem możemy sobie swobodnie przyjmować różne teorie liczb rzeczywistych, z hipotezą continuum lub bez niej.
W IX w. Arabowie przetłumaczyli już niemal całość spuścizny greckiej. Jednym z pierwszych chrześcijan, którzy uczyli się w szkołach arabskich w Hiszpanii i musieli oczywiście znać język arabski, był Gerbert (ok. 940 – 1003). Nim został papieżem, jako Sylwester II (papież 999-1003), przez długie lata nauczał w szkole katedralnej w Reims, przyciągając wielu słuchaczy z różnych części Europy. Takimi drogami docierały do łacińskiej Europy, wtedy jeszcze barbarzyńskiej i niepiśmiennej, pierwsze wieści o wspaniałych dziełach greckich filozofów, czytanych jednak początkowo tylko w wypisach z Boecjusza. Ciekawość jednak była już podrażniona, a to rodziło chęć poznania tych pism w oryginale i na początku XII wieku dla wielu oczywista już była konieczność bezpośredniego z nimi kontaktu. Wybitną rolę ułatwiającą ten kontakt odegrali tłumacze z arabskiego na łacinę, poszukujący najlepszych arabskich przekładów i tłumaczący je na miejscu, w ośrodkach kultury arabskiej, przede wszystkim w Hiszpanii i na Sycylii (na Bliskim Wschodzie trwały krucjaty). Większość tłumaczy pozostała bezimienna, ale nazwiska niektórych przeszły do historii.

Adelard z Bath (ok. 1175 – 1260) przetłumaczył m.in. Almagest Ptolemeusza i Elementy Euklidesa; jego przekład Elementów objął wszystkie księgi (plus dwie przypisywane Euklidesowi, ale napisane przez innych), pozwalając łacinnikom poznać bogatą i uporządkowaną logicznie teorię w jej pełnym kształcie.

Ważnym ośrodkiem translatorskim stało się Toledo, w XII wieku jeszcze we władaniu Arabów, którego ludność była mieszana (chrześcijańska, arabska, żydowska), a biblioteki pełne arabskich rękopisów. Najbardziej płodnym tłumaczem w tym ośrodku był Gerard z Cremony (1114-1187), który przetłumaczył 87 dzieł, w tym Elementy Euklidesa (przekład znacznie lepszy od Abelarda) i Almagest Ptolemeusza, a także wiele traktatów Archimedesa, Apoloniusza i Al-Chwarizmiego. Zasłużyli się także Robert z Chester, od którego przekładu Algebry Al-Chwarizmiego zaczęła się europejska algebra oraz Platon z Tivoli i Jan z Sewilli, ten ostatni znany także, jako autor kompilacji Liber algoarismus z arabskich tekstów. W owych czasach geometria euklidesowa była jeszcze dla uczonych europejskich za trudna, wskutek czego znacznie bardziej popularne były teksty algebraiczne i astronomiczne.

W tym też czasie i tymi samymi drogami dochodziły do łacińskiej Europy cyfry „arabskie”, a do najbardziej zasłużonych w tym względzie należeli franciszkanin Aleksander de Villedieu, autor poematu Carmen de algorismo, objaśniający wierszem działania na liczbach całkowitych z użyciem cyfr „arabskich” i zera, John Halifax, bardziej znany jako Sacrobosco (ok. 1200 – 1256), autor szeroko używanego podręcznika Algorismus vulgaris oraz Leonardo z Pizy czyli Fibonacci (sekcja VI.2).

W XIII wieku najważniejsze przekłady zostały już dokonane, a nadto – wraz z chwianiem się pozycji cesarstwa bizantyńskiego – zaczęli napływać uczeni greccy i rękopisy greckie. Pierwsze przekłady z oryginałów greckich pojawiły się jednak dopiero w XV w. i nie wywarły już większego wpływu, spuścizna starożytności była już bowiem wcześniej przyswojona łacińskiej Europie przez parę pokoleń ofiarnych tłumaczy.
1. Po wielu wiekach chaosu i dekadencji Europa zaczęła odkrywać i przyswajać intelektualne dziedzictwo starożytności, w tym grecką matematykę. Nie był to proces konieczny i na to, że mógł zajść złożyło się kilka czynników, w tym:

a) świadomy wysiłek zachowania ogromnego dorobku myśli starożytnej (Boecjusz i inni),
b) przetrwanie tego dorobku w przekładach arabskich i trud kilku pokoleń tłumaczy przyswajających ten dorobek łacińskiej Europie,
c) istnienie w Europie warstwy zainteresowanej przejęciem tego dorobku (skupionej na uniwersytetach i dworach) i jej intelektualna zdobywczość, nie pozwalająca na ograniczenie się do biernej recepcji,
d) ogólna atmosfera przedsiębiorczości i zdobywczości młodej kultury europejskiej, w co otwartość i śmiałość intelektualna nie tylko się wpisywała, ale stawała pożądanym czynnikiem.

Wszystko to były czynniki sprzyjające, ale nadto potrzebny był jeszcze długotrwały i uporczywy wysiłek, zmierzający do opanowania dawnego dorobku. Na początku nikt nie mógł powiedzieć jak długo to potrwa i jakie przyniesie owoce, a mimo to trwał on kilka wieków, nim w pełni przyswojono dziedzictwo i nim pojawiły się nowe, oryginalne idee. Można więc chyba powiedzieć, że najpotężniejszym czynnikiem podtrzymującym ten wysiłek była odważna ciekawość, a wielkość kultury europejskiej kryje się i w tym, że tego wysiłku nie sparaliżowała (jak to się stało w islamie) i nie zmarginalizowała (jak to było w takich kulturach jak Chiny).

2. Oryginalną europejską instytucją był uniwersytet, jednocześnie kustosz intelektualnej spuścizny przeszłości, ośrodek nauczania oraz miejsce dysput i badań. Szybko rozpowszechniony w Europie, a od XIX wieku także na innych kontynentach, stał się dynamicznym czynnikiem kulturotwórczym oraz oparciem dla rosnącej liczebnie inteligencji.

3. W atmosferze panującej na uniwersytetach intelektualnej wolności rodziły się nowe idee i metody. Jedną z najważniejszych była scholastyka, niesłusznie dziś lekceważona, a nawet wyśmiewana.

4. Przyswojenie spuścizny odrodziło niektóre dawne spory filozoficzne, co miało i ten skutek, że myśl europejska nie ograniczała się do biernej recepcji, ale przekraczała dawne granice, np. w przypadku sporu o uniwersalia (w szczególności, o istnienie obiektów matematycznych), dodając nowe argumenty i formułując nowe stanowisko – nominalizm.

5. Aktywne środowisko intelektualne potrzebuje nie tylko oryginalnych twórców i natchnionych nauczycieli, ale także ludzi drugiego planu. Przykładem wybitna rola tłumaczy dawnych dzieł z arabskiego i greki na łacinę, uniwersalny język nowej Europy.