VI. Wychodzenie poza dziedzictwo

Mając drogę przetartą przez kosystów pojawili się we Włoszech matematycy, którzy zabrali się za rozwiązywanie równań wyższych stopni. Z zadaniami prowadzącymi do równań drugiego stopnia umieli sobie radzić już Babilończycy, a zarówno oni jak i matematycy arabscy próbowali swoich sił także z niektórymi równaniami trzeciego stopnia. Teraz chodziło o znalezienie ogólnej formuły pozwalającej rozwiązać każde równanie trzeciego stopnia. Inspiracją mogła być uwaga L. Paciolliego na końcu jego Sumy, że na rozwiązanie równań x^{3} + ax = b i x^{3} + b = ax (we współczesnym zapisie) „sztuka algebry nie znalazła jeszcze sposobu” i że jest to w obecnym stanie wiedzy równie niemożliwe jak kwadratura okręgu.

Równanie x^{3} + ax = b rozwiązał Scipione del Ferro (1456-1526), ale rozwiązania nie ujawnił, z obawy przed rywalami panował bowiem wówczas szkodliwy zwyczaj utrzymywania takich rozwiązań w tajemnicy. Ferro pokazał je jednak swemu uczniowi Floridasowi.

Kolejnym bohaterem zaczynającego się dramatu był samouk Niccolo Fontana, zwany Tartaglia, czyli „jąkała” (1500-1557), który znalazł rozwiązanie równania x^{3} + px^{2} = q. W 1535 r. doszło między Floridasem a Tartaglią do publicznej rozprawy. Każdy z nich przedstawił 30 zadań, a zwycięzcą miał zostać ten, kto w ciągu 50 dni rozwiąże większą ich ilość. Tartaglia rozwiązał wszystkie w ciągu 2 godzin, Floridas w ciągu 50 dni – żadnego.

Sukces ośmielił Tartaglię i w 1541 r. uzyskał on ogólne rozwiązanie równania trzeciego stopnia. Nie ujawnił go, zamierzał bowiem przedstawić je w większym dziele, do którego miał się zabrać po uporaniu się z tłumaczeniami z greki Euklidesa i Archimedesa. Wieść się jednak rozeszła i Tartaglia stał się obiektem nagabywań. Po wielu naleganiach i po złożeniu przez Geronimo Cardano (1501-1576) uroczystej obietnicy utrzymania rozwiązania w tajemnicy, Tartaglia mu je pokazał. Cardano jednak obietnicy nie dotrzymał i w swoim wielkim dziele Ars Magna sive de regulis algebraicis [Sztuka Wielka czyli o regułach algebraicznych] (1545) ogłosił to rozwiązanie. Przypisał wprawdzie jego autorstwo Tartaglii, ten jednak wpadł w rozpacz. Nastąpiły publiczne oskarżenia i wezwania na rozprawy, nie dały one jednak satysfakcji rozgoryczonemu autorowi.
Źródło: Wikipedia.

Po równaniach trzeciego stopnia naturalną rzeczy koleją przyszła kolej na równania czwartego stopnia. Bez większego powodzenia próbował je rozwiązywać Cardano, ale powiodło się to jego uczniowi Lodovico Ferrari (1522-1565). Cardano opublikował i to rozwiązanie w swojej Ars Magna.

Jako człowiek Cardano stanowił przedziwną mieszaninę geniuszu, szaleństwa, pychy i mistycyzmu [Bibliografia]. Znał się na matematyce i medycynie (był profesorem obu tych dziedzin na uniwersytetach w Mediolanie, Padwie i Bolonii), ale namiętnie uprawiał także hazard i w 1570 r. znalazł się w więzieniu za długi. Ars Magna, dzieło jego życia, odegrała dużą rolę w rozwoju algebry i to nie tylko z powodu podania rozwiązań równań trzeciego i czwartego stopnia, ale także i dlatego, że autor dopuszczał pierwiastki ujemne (liczby ujemne ciągle jeszcze budziły opory), uzyskał postęp w obliczaniu przybliżonych wartości pierwiastków i nie cofał się przed używaniem wyrażeń zawierających pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, np. rozwiązał zadanie „podzielić 10 na dwie części, których iloczyn jest równy 40” uzyskując (w naszej notacji) rozkład:

40 = (5 + \sqrt{-15}) (5-\sqrt{-15}).

Wielkość \sqrt{-15} nazwał „sofistycznie ujemną” i zalecał unikanie takich wielkości. Był to jednak pierwszy przypadek, gdy pojawiły się liczby zespolone, ale na ich uznanie trzeba było jeszcze długo czekać (sekcja XIII.2). Cardano napisał także traktat De ludo aleae [O grze w kości] (1563), w którym rozważał problemy wynikające przy grze w kości. Był to pierwszy w historii matematyki traktat o prawdopodobieństwie, ale w jego rozwoju nie odegrał on większej roli.

Pewien postęp w operowaniu liczbami zespolonymi przyniósł traktat Algebra (1572), gdzie po raz pierwszy w europejskiej literaturze pojawił się termin „algebra” w tytule, a którego autorem był inżynier Raphael Bombelli (1526-1573). Nadal jednak traktowano te liczby podejrzliwie, choć budziły coraz większe zaciekawienie. Jan Bernoulli (1667-1748) badał logarytmy naturalne liczb zespolonych, Roger Cotes (1682-1716) doszedł do równości ln (\cos \phi + i \sin \phi) = i\phi, z której wynika e^{i\phi} = cos \phi + i sin \phi, co dla \phi=\pi daje e^{i\pi} =-1, czyli wzór Eulera (sekcja IX.4). De Moivre znalazł formułę (\cos \phi + i \sin \phi)^{n} = \cos n\phi + i \sin n\phi, a Euler formuły \sin \phi = (e^{i\phi} - e^{-i\phi}) / 2i , \cos \phi = (e^{i\phi} + e^{-i\phi}) / 2. Sporą rolę w XVIII wieku odgrywało tzw. fundamentalne twierdzenie algebry stwierdzające, że każdy wielomian zespolony w(z) ma co najmniej jeden pierwiastek z_{0}. Znaczenie tego twierdzenia polegało na tym, że dla takiego pierwiastka zachodziła redukcja w(z) = (z-z_{0}) w_{1}(z), gdzie w_{1}(z) było już wielomianem o jeden stopień niższym i to postępowanie, na mocy tego twierdzenia, można było kontynuować otrzymując w wyniku rozkład wyjściowego wielomianu na iloczyn czynników liniowych. Pierwszy dowód tego twierdzenia dał d’Alembert w 1746 r., ale miał on luki, drugi dał Gauss w 1799 r., ale i ten miał luki, obaj bowiem nie rozumieli dobrze pojęcia ciągłości. Poprawny dowód dał dopiero Weierstrass w 1874 r. w oparciu o teorię liczb rzeczywistych Dedekinda [Bibliografia]. Liczby zespolone zostały w pełni zaakceptowane dopiero po znalezieniu ich interpretacji jako punktów płaszczyzny, dzisiaj zwanej płaszczyzną Gaussa, którą dostrzegli Norweg Wessel, Szwajcar Armand i Gauss, ale dopiero autorytet tego ostatniego sprawił, że została ona przyjęta i uznana.

W XIX wieku znaczenie liczb zespolonych ogromnie wzrosło, pojawiła się bowiem teoria funkcji zespolonych (Gauss, Cauchy i ich następcy), znalazły one zastosowanie w teorii magnetyzmu i elektryczności (Maxwell), Riemann zdefiniował swoje powierzchnie, odkryto ich związek z geometriami nieeuklidesowymi itd. Dziś liczby zespolone odgrywają w matematyce wielką rolę, może nawet większą niż liczby rzeczywiste.
Chcesz poznać szczegóły historii, jak Cardano dowiedział się od Tartaglii, jak rozwiązywać równania trzeciego stopnia? Czytaj więcej... (j. angielski).