VI. Wychodzenie poza dziedzictwo

1. W XIII wieku kończyło się przyswajanie greckiego dorobku matematycznego przez łacińską Europę, ale samo przyswojenie nie wystarczyłoby do trwałego zaistnienia matematyki w europejskiej kulturze. Matematyka naprawdę żyje dopiero wtedy, gdy się rozwija, do czego bodźcem są nowe wyzwania i znajdowane na nie odpowiedzi w postaci nowych idei i metod. I takie rumieńce nowego życia pokazywały się w Europie już w wiekach XIV i XV, otwierając przed matematyką nowe i nieznane wcześnie drogi.

2. Kluczowe znaczenie miało upowszechnienie cyfr „arabskich”, co trwało wprawdzie parę wieków i nie obywało się bez oporów, ale dawało silne oparcie dla rozwoju nowych i skutecznych metod rachunkowych.

System dziesiętny i cyfry „arabskie” okazały się tak efektywne, że po ich upowszechnieniu wszystkie wcześniejsze systemy zapisywania liczb i związane z nimi algorytmy stały się historycznymi ciekawostkami.

3. Dużą rolę w upowszechnieniu systemu dziesiętnego odegrało środowisko rachmistrzów, świadczące usługi rachunkowe, kształcące adeptów i szerzące swoje umiejętności za pomocą książeczek dla każdego.

W środowisku rachmistrzów pojawili się kosyści, których ambicje sięgały dalej. Szukając niewiadomych liczb, zadanych tylko jakimiś warunkami algebraicznymi, zaczęli oni tworzyć nie istniejącą jeszcze wtedy symbolikę algebraiczną: znaki na niewiadomą i jej potęgi, znaki działań algebraicznych, zaznaczanie kolejności działań, znak równości.

4. Opierając się na dorobku kosystów pojawili się we Włoszech algebraicy, którzy podjęli trud znalezienia ogólnych rozwiązań równań algebraicznych, najpierw trzeciego, a potem i czwartego stopnia. Powiodło im się, ale bodaj ważniejsze od tych rozwiązań było opanowanie liczb ujemnych (wcześniej traktowanych podejrzliwie), rosnąca biegłość w operowaniu liczbami niewymiernymi oraz natknięcie się, nieufne i pełne długo utrzymującej się podejrzliwości, na liczby zespolone.

Rosły umiejętności, rozwijała się symbolika algebraiczna, poszerzał zakres używanych liczb.

5. Równolegle do rachmistrzów, kosystów i algebraików rozwijał się kierunek drugi, ograniczony w owym czasie do środowiska malarzy i budowniczych, ale w przyszłości mający odegrać dużą rolę w rozwoju matematyki, a mianowicie odkrywanie matematycznych zasad perspektywy. Bogatsze o znajomość tych zasad malarstwo europejskie stało się wierniejsze naturze, a architektura europejska zyskała na wyrazistości. Matematyka nawiąże do tych odkryć w XVII wieku, a w XIX silnie je rozwinie.

6. Ważnym odkryciem były logarytmy, ogromnie ułatwiające uciążliwe wcześniej rachunki. Pierwsi skorzystali na tym astronomowie, ale później przeniknęły one także do innych dziedzin życia, a zwłaszcza do techniki. Logarytmy, zarówno w postaci tablic jak i różnego rodzaju suwaków, były w powszechnym użyciu do XX wieku, kiedy zostały wyparte przez techniki komputerowe.

7. Prócz wyżej wymienionych obszarów matematyka okazała się użyteczna także w kartografii, która borykała się z problemem wiernego przedstawienia dużych fragmentów powierzchni Ziemi na płaskich arkuszach map, zwłaszcza na potrzeby nawigacji morskiej.

8. Równocześnie z zarysowaną wyżej użytkową stroną matematyki trwały spekulacje uniwersyteckich scholastyków nad problemem ruchu. Wyróżniono tam wtedy tzw. cechy wtórne, które same mogą ulegać zmianie, nie wpływając na cechy pierwotne rozważanego ciała. Takimi cechami wtórnymi były pęd (impet) i prędkość, a rozważania szły w kierunku ilościowego ich ujmowania. Tworzyły one glebę, na której pojawi się w XVII wieku calculus, czyli rachunek różniczkowy i całkowy.

9. Wyrazem rosnącej odwagi intelektualnej było także pojawienie się nieskończoności w postaci bliskiej nieskończoności aktualnej.