XII. Kariera przypadku

Najprostsze i najstarsze pytania o prawdopodobieństwo wiązały się najpierw z grą w kości, potem z losowaniem z urny, grą w karty, grą w orła i reszkę itp. Nazwijmy konkretny ruch w takiej grze doświadczeniem losowym. Wynik takiego doświadczenia losowego zależy od różnych czynników przypadkowych i nie sposób go przewidzieć, można jednak starać się określić jego szansę pojawienia się, czyli prawdopodobieństwo. Rzucając dobrą kostką mamy jednakową szansę pojawienia się którejkolwiek jej ściany, a zatem szansę pojawienia się np. czwórki możemy ocenić na 1/6, czyli „prawdopodobieństwo czwórki równa się 1/6”.

Prawdopodobieństwo klasyczne odnosi się do sytuacji, w której mamy skończenie wiele podstawowych doświadczeń losowych (nazywa się je elementarnymi, a zbiór ich wszystkich nazywa się przestrzenią zdarzeń elementarnych) i wszystkie wyniki tych doświadczeń są sobie równe (jak przy rzucaniu kością).

Zdarzenia elementarne składają się na zdarzenia złożone, krótko nazywane zdarzeniami, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek jest zdarzeniem, które składa się z trzech zdarzeń elementarnych {2}, {4} i {6}. Zdarzenia elementarne wchodzące w skład rozpatrywanego zdarzenia nazywa się zdarzeniami sprzyjającymi, a prawdopodobieństwo takiego zdarzenia określa się, jako stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do liczby wszystkich zdarzeń możliwych, np. prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek określa się, jako 3/6, czyli 1/2.

Rozważanie prawdopodobieństwa klasycznego pozwala zauważyć trzy podstawowe własności funkcji prawdopodobieństwa P(A) zdarzenia A.

I. Dla każdego zdarzenia A,

0 \leq P(A) \leq 1.

Istotnie, liczba zdarzeń sprzyjających \leq liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

II. Jeśli zdarzenia A i B wyłączają się, tzn. nie ma zdarzeń elementarnych sprzyjających jednocześnie A i B, to:

P(A \cup B) = P(A) + P(B).

Tutaj A \cup B oznacza sumę zdarzeń A i B tj. zbiór złożony ze wszystkich zdarzeń elementarnych, składających się na zbiór A bądź na zbiór B. Jeśli zdarzeń elementarnych w A było k, a w B-m, to wobec wyłączania się zdarzeń A i B, w zbiorze A \cup B zdarzeń elementarnych jest k+m.

III. Jeśli \Omega jest przestrzenią zdarzeń elementarnych, to:

P(\Omega) = 1.

Własności I-III rozciąga się na inne, niż klasyczne rodzaje prawdopodobieństwa, w tym na prawdopodobieństwo statystyczne. O prawdopodobieństwie statystycznym mówimy wtedy, gdy obserwujemy bardzo długie serie powtarzających się doświadczeń losowych, np. płeć dziecka, czas żarzenia się świetlówki, oddanie strzału itp., w których mamy to samo prawdopodobieństwo sukcesu, ale jest ono określone inną, niż klasyczną drogą, a nas interesuje ilość sukcesów w danej serii. Dla takich przypadków konieczne jest rozszerzenie własności II do tzw. prawa dodawania prawdopodobieństw:

II’. Jeżeli A_{1}, A_{2}, ... jest ciągiem zdarzeń parami się wyłączających, to:

P(A_{1} \cup A_{2} \cup ...) = P(A_{1}) + P(A_{2}) + ...